Question

【题目】如图，四边形ABCD是正方形，ΔECG是等腰直角三角形，∠BGE的平分线过点D交BE 于H，O是EG的中点，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②OH∥BG，且；③；④△EBG的外接圆圆心和它的内切圆圆心都在直线HG上．其中表述正确的个数是( )

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①由四边形ABCD是正方形，△ECG是等腰直角三角形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得出GH⊥BE；

②由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得出OH∥BG，且；

③由（2）得BG=EG，设CG=x，则CE=x，根据勾股定理得EG=x，所以BG=x，从而得到BC=(-1)x，根据正方形面积公式和等腰直角三角形面积公式可以得到S正方形ABCD=(3-2)x2，S△ECG=x2，进而求出；

④三角形的外接圆的圆心是三条边的垂直平分线的交点，三角形的内切圆是的圆心是三个角的平分线的交点．由（2）得BG=EG，由（1）得GH⊥BE，因为GH平分∠BGE，所以GH是BE边上的垂直平分线，所以△EBG的外接圆圆心和内切圆圆心在直线HG上．

解：①∵四边形ABCD是正方形，△ECG是等腰直角三角形

∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°

在△BCE和△DCG中，

∴△BCE≌△DCG（SAS）

∴∠BEC=∠BGH

∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE

∴∠BEC+∠HDE=90°

∴GH⊥BE

故①正确；

②∵GH是∠EGC的平分线

∴∠BGH=∠EGH

在△BGH和△EGH中，

∴△BGH≌△EGH（ASA）

∴BH=EH

∵O是EG的中点

∴HO是△EBG的中位线

∴OH∥BG，且

故②正确；

③由（2）得△BGH≌△EGH

∴BG=EG

在等腰直角三角形ECG中，设CG=x，则CE=x

∴EG==x

∴BG=x

∴BC=BG-CG=x-x=(-1)x

∴S正方形ABCD=BC2=[(-1)x]2 =(3-2)x2

S△ECG=CGCE=x2

∴S正方形ABCD∶S△ECG=(3-2)x2∶x2=(6-4)∶1

故③正确；

④由（2）得BG=EG，由（1）得GH⊥BE

∵GH平分∠BGE，

∴GH是BE边上的垂直平分线

∵三角形的外接圆的圆心是三条边的垂直平分线的交点，三角形的内切圆是的圆心是三个角的平分线的交点．

∴△EBG的外接圆圆心和内切圆圆心在直线HG上

故④正确．

故选D．