Question

【题目】如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D为顶点，连接BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交与点E．

（1）求抛物线解析式及点D的坐标；

（2）G是抛物线上B，D之间的一点，且S四边形CDGB＝4S△DGB，求出G点坐标；

（3）在抛物线上B，D之间是否存在一点M，过点M作MN⊥CD，交直线CD于点N，使以C，M，N为顶点的三角形与△BDE相似？若存在，求出满足条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；顶点；（2）；（3）存在，点或．

【解析】

（1）利用待定系数法可求得抛物线的解析式，然后化成顶点式可得点D的坐标；

（2）连接BC，BG，DG，首先求出，然后根据S四边形CDGB＝4S△DGB可得，求出直线的解析式，设，则H（x，2x-6），根据得出方程，解方程求出x即可解决问题；

（3）如图3，以C，M，N为顶点的三角形与△BDE相似，则以B，C，P为顶点的三角形与△BDE相似，则或，求出或；然后分和两种情况，分别求出直线CP的解析式即可解决问题．

解：（1）抛物线与轴交于，两点，

，解得，

∴抛物线的解析式为：；

，

顶点的坐标为；

（2）如图2，连接，BG，DG，

在中，令，则，

∴点，

∴易求直线的解析式为，

设直线与对称轴相交于点，

当时，，

∴点，

∴，

，

四边形，

，

设过点与轴平行的直线交BD于点，直线的解析式为，

则，解得，

∴直线的解析式为，

设，则H（x，2x-6），

∴，

∴，

整理得，，

解得：，则，

∴点；

（3）存在，

由勾股定理得，，

如图3，过点作交的延长线于，

，，，

，与轴的夹角都是，

，

又，

，

，

以、、为顶点的三角形与相似，

以、、为顶点的三角形与相似，

或，即或，

解得：或，

过点作轴于，

，

，

①当时，，

∴，

∴点，

设直线的解析式为，

则，解得，

∴直线的解析式为，

联立，解得：（舍去），，

∴点；

②当时，，

∴，

∴点，

设直线的解析式为，

则，解得，

∴直线的解析式为，

联立，解得（舍去），，

点，

综上所述，存在点或，使以、、为顶点的三角形与相似．