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【题目】如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,∠APB=60°,连接PO并延长与⊙O交于C点,连接AC,BC.

(1)求证:四边形ACBP是菱形;

(2)若⊙O半径为1,求菱形ACBP的面积.

【答案】(1).证明见解析;(2)菱形ACBP的面积=

【解析】

试题分析:(1)连接AO,BO,根据PA、PB是⊙O的切线,得到∠OAP=∠OBP=90°,PA=PB,∠APO=∠BPO=∠APB=30°,由三角形的内角和得到∠AOP=60°,根据三角形外角的性质得到∠ACO=30°,得到AC=AP,同理BC=PB,于是得到结论;(2)连接AB交PC于D,根据菱形的性质得到AD⊥PC,解直角三角形即可得到结论.

试题解析:

(1)连接AO,BO,

∵PA、PB是⊙O的切线,∴∠OAP=∠OBP=90°,PA=PB,∠APO=∠BPO=∠APB=30°,

∴∠AOP=60°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠AOP=∠CAO+∠ACO,∴∠ACO=30°,

∴∠ACO=∠APO,∴AC=AP,

同理BC=PB,∴AC=BC=BP=AP,∴四边形ACBP是菱形;

(2)连接AB交PC于D,

∴AD⊥PC,∴OA=1,∠AOP=60°,∴AD=OA=

∴PD=,∴PC=3,AB=

∴菱形ACBP的面积=ABPC=

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