Question

14．如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP²，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．
（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
（3）如图3，C是函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由角平分线求出∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=45°，再证出∠OAP=∠OPB，证明△AOP∽△POB，得出对应边成比例$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OB}$，得出OP²=OA•OB，即可得出结论；
（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OB}$，证出△AOP∽△POB，得出对应角相等∠OAP=∠OPB，即可得出∠APB=180°-$\frac{1}{2}$α；过点A作AH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AH，即可得出S_△AOB=2sinα；
（3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC=2CA不可能；当得A在x轴的正半轴上时；先求出$\frac{CA}{AB}=\frac{1}{3}$，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：$\frac{CH}{OB}-\frac{AH}{OA}=\frac{CA}{AB}$=$\frac{1}{3}$，得出OB=3b，OA=$\frac{3a}{2}$，求出OA•OB=$\frac{27}{2}$，根据∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出点P的坐标；
②当点B在y轴的负半轴上时；由题意得出：AB=CA，由AAS证明△ACH≌△ABO，得出OB=CH=b，OA=AH=$\frac{1}{2}$a，得出OA•OB=$\frac{3}{2}$，求出OP，即可得出点P的坐标．

解答 （1）证明：∵∠MON=90°，P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=45°，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，
∴∠OAP+∠APO=135°，
∵∠APB=135°，
∴∠APO+∠OPB=135°，
∴∠OAP=∠OPB，
∴△AOP∽△POB，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OB}$，
∴OP²=OA•OB，
∴∠APB是∠MON的智慧角；
（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴OA•OB=OP²，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OB}$，
∵P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$α，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP=∠OPB，
∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°-$\frac{1}{2}$α，
即∠APB=180°-$\frac{1}{2}$α；
过点A作AH⊥OB于H，连接AB；如图1所示：
则S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AH=$\frac{1}{2}$OB•OAsinα=$\frac{1}{2}$OP²•sinα，
∵OP=2，
∴S_△AOB=2sinα；
（3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图2所示：
BC=2CA不可能；
当点A在x轴的正半轴上时，如图3所示：
∵BC=2CA，
∴$\frac{CA}{AB}=\frac{1}{3}$，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴$\frac{CH}{OB}=\frac{AH}{OA}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴OB=3b，OA=$\frac{3a}{2}$，
∴OA•OB=$\frac{3a}{2}$•3b=$\frac{9ab}{2}$=$\frac{27}{2}$，
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴OP=$\sqrt{OA•OB}$=$\sqrt{\frac{27}{2}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
②当点B在y轴的负半轴上时，如图4所示：
∵BC=2CA，
∴AB=CA，
在△ACH和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHC=∠AOB}&{\;}\\{∠BAO=∠CAH}&{\;}\\{CA=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△ABO（AAS），
∴OB=CH=b，OA=AH=$\frac{1}{2}$a，
∴OA•OB=$\frac{1}{2}$a•b=$\frac{3}{2}$，
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴OP=$\sqrt{OA•OB}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
综上所述：点P的坐标为：（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），或（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、新定义以及运用、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，证明三角形相似和三角形全等才能得出结果．