Question

设（2-

3

x）¹⁰⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀₀x¹⁰⁰，求下列各式的值：
（1）a₀；
（2）a₁+a₂+…+a₁₀₀；
（3）a₁+a₃+a₅+…+a₉₉；
（4）（a₀+a₂+…+a₁₀₀）²-（a₁+a₃+…+a₉₉）²．

Answer 1

考点：代数式求值

专题：

分析：在（2-

3

x）¹⁰⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…a₁₀₀x¹⁰⁰中，
（1）令x=0可得a₀ 的值；
（2）令x=1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=（2-

3

)100¹⁰⁰①，从而求得a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀ 的值；
（3）令x=-1，可得2¹⁰⁰-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀₀ =（2+

3

）¹⁰⁰②，由①②求得a₁+a₃+a₅…+a₉₉ 的值，
（4）由①②可得a₁+a₃+a₅…+a₉₉ 的值、以及a₀+a₂+…+a₁₀₀ 的值，从而求得（a₀+a₂+…+a₁₀₀）²-（a₁+a₃+…+a₉₉）²的值．

解答： 解：在（2-

3

x）¹⁰⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…a₁₀₀x¹⁰⁰中，
（1）令x=0可得a₀=2¹⁰⁰．
（2）令x=1，可得2¹⁰⁰+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=（2-

3

）¹⁰⁰①，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀ =（2-

3

）¹⁰⁰-2¹⁰⁰．
（3）令x=-1，可得得2¹⁰⁰-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀₀ =（2+

3

）¹⁰⁰②，
由①②求得a₁+a₃+a₅…+a₉₉ =

(2- 3 )100-(2+ 3 )100

2

．
（4）由①②还可得到 a₀+a₂+…+a₁₀₀ =

(2- 3 )100+(2+ 3 )100

2

，
∴（a₀+a₂+…+a₁₀₀）²-（a₁+a₃+…+a₉₉）² =（a₀+a₁+a₂+…a₁₀₀）（a₀-a₁+a₂+…+a₁₀₀）=（2-

3

）¹⁰⁰ •（2+

3

）¹⁰⁰ =1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．