Question

8．如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=78°，∠BDC=24°，则∠DBC=（　　）

• A． 18°
• B． 20°
• C． 25°
• D． 15°

Answer 1

分析 延长BD到M使得DM=DC，由△ADM≌△ADC，得AM=AC=AB，得△AMB是等边三角形，得∠ACD=∠M=60°，再求出∠BAC即可解决问题．

解答 解：如图延长BD到M使得DM=DC，
∵∠ADB=78°，
∴∠ADM=180°-∠ADB=102°，
∵∠ADB=78°，∠BDC=24°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=102°，
∴∠ADM=∠ADC，
在△ADM和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠ADM=∠ADC}\\{DM=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ADC，
∴AM=AC=AB，
∵∠ABD=60°，
∴△AMB是等边三角形，
∴∠M=∠DCA=60°，
∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，
∴∠BAO=∠ODC=24°，
∴∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，
∴24°+2（60°+∠CBD）=180°，
∴∠CBD=18°，
故选A．

点评 本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有点难度．