Question

20．如图，等边△ABC中，点D在边AB上，E在CB的延长线上，已知CD=ED，M是CD中点，AM=2$\sqrt{2}$，则AE=4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由于只告诉了AM的长度，说明AE的长度与AM必然有密切关系，通过观察，猜想它们有二倍关系，又由于M是中点，于是延长AM至F，使MF=AM，连接CF、EM、EF、DF，DF交BC于H，则只需说明三角形AEF是等边三角形即可，容易得到CF=CH=AD，于易证△ABE≌△ACF，然后可轻松得出三角形AEF是等边三角形的结论，答案不言而喻．

解答 解：延长AM至F，使MF=AM，连接CF、EM、EF、DF，DF交BC于H，如图，

∵DM=CM，
∴ACFD是平行四边形，
∴CF=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AD=CH，
∴△DBH是等边三角形，
∴DB=DH=BH，∠DBH=∠DHB=60°，
∴∠DBE=∠DHC=120°，
∵DE=DC，
∴∠DEB=∠DCH，
∴△DBE≌△DHC，
∴BE=CH=CF，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABE=∠ACF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴AE=AF，∠EAB=∠FAC，
∴∠EAF=∠BAC=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EM⊥AM，
∴AE=2AM=4$\sqrt{2}$，
故答案为4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，难度较大．本题看似简单，却不好下手，在这种情况，抓住“题眼”是关键，本题的“题眼”就是“中点”，因此，熟悉“中点”的用法就特别重要．