Question

11．一次数学活动课上，两位学生小韩和小苏利用计算机软件探索函数问题，下面是他们的交流片断．如图中的（1）（2）．

问题解决：
（1）小苏提出的问题$\frac{MN}{PM}$的比值是多少？
（2）记图①和图②中MN为d₁，d₂，分别求出d₁，d₂与m之间的函数关系式，并指出函数的增减性．
拓广探索：
（3）学生小王又提出新的问题如图③二次函数的图象，求m为何值时，OP、PM、PN、MN四个长度中，其中任意三条能围成等边三角形？

Answer 1

分析 （1）根据直线x=m与x轴，y=$\frac{2}{x}$，y=$\frac{3}{x}$的交点，表示出P，M，N，进而表示出|MN|与|PM|，即可求出所求之比；
（2）如图①，表示出d₁与m的关系式，即可作出判断；如图②，表示出d₂与m的关系式，即可作出判断；
（3）把x=m（m≠0）分别代入抛物线解析式，表示出|MN|=OP=m，分两种情况考虑：当OP=MN=PM；当OP=MN=PM，分别求出m的值即可．

解答 解：（1）∵x=m与x轴，y=$\frac{2}{x}$，y=$\frac{3}{x}$分别交于点P、M、N，
∴P点坐标为（m，0），M坐标为（m，$\frac{2}{m}$），N坐标为（m，$\frac{3}{m}$），
∴|MN|=$\frac{3}{m}$-$\frac{2}{m}$=$\frac{1}{m}$，|PM|=$\frac{2}{m}$，
则$\frac{MN}{PM}$=$\frac{\frac{1}{m}}{\frac{2}{m}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）在图①中，|MN|=2m-m=m，即d₁=m，d₁随着m的增大而增大；
在图②中，|MN}=$\frac{2}{m}$-$\frac{1}{m}$=$\frac{1}{m}$，即d₂=$\frac{1}{m}$，d₂随m的增大而减小；
（3）由题意，把x=m（m≠0）分别代入抛物线y=x²-4x，y=x²-3x中，有|MN|=|y_N-y_M|=m，即MN=OP=m，
分两种情况考虑：当OP=MN=PM，即|m²-4m|=m时，解得m=3，5；
当OP=MN=PM，即|m²-3m|=m时，解得m=2，4，
综上，m=2，3，4，5．

点评 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．