Question

15．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且AB=4，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为5，当GE+FH的值最大时，弦BC的长等于（　　）

• A． 8
• B． 10
• C． 2$\sqrt{21}$或8
• D． 2$\sqrt{21}$或10

Answer 1

分析 根据题意得出当GH最长为直径时，GE+FH的值最大，由三角形中位线定理得出GH⊥BC，CF=BF，再根据勾股定理得出CF，从而得出弦BC的长．

解答 解：分两种情况：
①如图1，
∵AB=4，点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=2，
∴当GH最长为直径时，GE+FH的值最大，
∴GH⊥BC，
∴CF=BF，
∵OC=5，
∴CF=$\sqrt{{5}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴BC=2$\sqrt{21}$；
②如图2，
∵AB=4，点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=2，
∴当GH最长为直径时，GE+FH的值最大，
∴GH⊥AC，
∴CE=AE，
∵OC=5，
∴BC=10；
∴BC=10或2$\sqrt{21}$，
故选D．

点评 本题考查了三角形的中位线定理以及垂径定理，注意分类讨论思想的运用是解题的关键．