Question

如图，对称轴为直线x=

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的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据对称轴为直线x=

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的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4），设所求抛物线的解析式为y=a（x-

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）²+b，代入A、B坐标求出解析式，然后求得顶点坐标；
（2）由设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即-y＞0，-y表示点E到OA的距离，又由S=2S_△OAE=2×

1

2

×OA•|y|，即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围；
（3）由平行四边形OEAF的面积为24，可得方程：-4x²+28x-24=24，解此方程可求得E点坐标，然后分析OE与AE的关系，即可判定平行四边形OEAF是否为菱形．

解答：解：（1）∵对称轴为直线x=

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2

，
设所求抛物线的解析式为y=a（x-

7

2

）²+b，
则由题意可得：

25 4 a+b=0 49 4 a+b=4

，
解得：

a= 2 3 b=- 25 6

，
∴所求抛物线的解析式为：y=

2

3

（x-

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2

）²-

25

6

=

2

3

x²-

14

3

x+4，
顶点坐标为：（

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2

，-

25

6

）；

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=

2

3

x²-

14

3

x+4，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示点E到OA的距离．
∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S=2S_△OAE=2×

1

2

×OA•|y|=-6y=-6（

2

3

x²-

14

3

x+4）=-4x²+28x-24，
自变量x的取值范围为：1＜x＜6；

（3）根据题意得：-4x²+28x-24=24，
解得x₁=3，x₂=4，
∴所求的点E有两个，分别为E₁（3，-4），E₂（4，-4），
∵点E₁（3，-4），
∴OE=5，AE=

(3-6)2+(-4-0)2

=5，
∴OE=AE，
∴平行四边形OEAF是菱形，
∵点E₂（4，-4），
∴OE=4

2

，AE=

(4-6)2+(-4-0)2

=2

5

，
∴不满足OE=AE，
∴平行四边形OEAF不是菱形，
综上所述，当点E坐标为（3，-4）时，平行四边形OEAF为菱形．

点评：此题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、配方法求顶点坐标、平行四边形的性质、菱形的判定以及正方形的判定等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想、方程思想与函数思想的应用．