Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标是（-1，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，写出点P的坐标（不要求写解题过程）．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）只需求出A、B、C三点的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）可分两种情况（①以C为直角顶点，②以A为直角顶点）讨论，然后根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P的坐标；
（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF，根据垂线段最短可得当OD⊥AC时，OD（即EF）最短，然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点P的纵坐标，就可求出点P的坐标．

解答：解：（1）由B（-1，0）可知OB=1，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），A（4，0）．
设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，
则

16a+4b+c=0 a-b+c=0 c=4

，
解得：

a=-1 b=3 c=4

，
则抛物线的解析式是y=-x²+3x+4；

（2）存在．
①当以C为直角顶点时，
过点C作CP₁⊥AC，交抛物线于点P₁，
过点P₁作y轴的垂线，垂足是M，M，如图1．
∵∠A CP₁=90°，∴∠MCP₁+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP₁=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP₁=∠OAC=45°，
∴∠MCP₁=∠MP₁C，
∴MC=MP₁，
设P（m，-m²+3m+4），
则m=-m²+3m+4-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2．
∴m=2，
此时-m²+3m+4=6，
∴P₁P的坐标是（2，6）．
②当点A为直角顶点时，
过A作AP₂⊥AC交抛物线于点P₂，
过点P₂作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图2．
∴P₂N∥x轴，
由∠CAO=45°得∠OAP₂ =45°，
∴∠FP₂N=45°，AO=OF．
∴P₂N=NF，
设P₂（n，-n²+3n+4），
则-n+4=-（-n²+3n+4），
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴n=-2，
此时-n²+3n+4=-6，
∴P₂的坐标是（-2，-6）．
综上所述：P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；

（3）当EF最短时，点P的坐标是（

3+ 17

2

，2）或（

3- 17

2

，2）．
解题过程如下：
连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短可得：当OD⊥AC时，OD（即EF）最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4．
根据等腰三角形的性质可得：D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴△AFD∽△AOC，
∴

DF

CO

=

AD

AC

=

1

2

∴DF=

1

2

OC=2，
∴点D的纵坐标是2，
∴点P的纵坐标也是2，
解-x²+3x+4=2得，
x₁=

3+ 17

2

，x₂=

3- 17

2

，
∴点P的坐标为（

3+ 17

2

，2）或（

3- 17

2

，2）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、等腰三角形的性质、矩形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，有一定的综合性，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键，根据矩形的性质将EF转化为OD，然后利用垂线段最短是解决第（3）小题的关键．