Question

如图，已知A，B两个村庄在河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，且CD=30km．现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置？（保留痕迹，不写作法）此时所花费用最少为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：根据已知得出作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，再利用构造直角三角形得出即可．

解答：解：依题意，只要在直线l上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小．
作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，
则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B．
过点A′向BD作垂线，交BD的延长线于点E，
在直角三角形A′BE 中，A′E=CD=30，BE=BD+DE=40，
根据勾股定理可得：A′B=50（千米）
即铺设水管长度的最小值为50千米．
所以铺设水管所需费用的最小值为：50×2=100（万元）．
故答案为100万元．

点评：此题主要考查了轴对称-最短路线问题和勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形．