Question

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，AC、PB的延长线相较于点D．
（1）若∠1=20°，求∠APB的度数．
（2）当∠1为多少度时，OP=OD，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）易证∠PAO=90°和∠PAB=∠PBA，即可求得∠APB的值，即可解题；
（2）易证∠D=∠OPD，PA=PB，即可证明△POA≌△POB，可得∠APO=∠OPD即可求得∠APD=2∠D，即可求得∠D的值，即可判定△PAB为等边三角形，即可求得∠1的大小，即可解题．

解答：解：（1）∵AC是直径，PA、PB是圆的切线
∴PA=PB，OA⊥PA，即∠PAO=90°，
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠1=20°，
∴∠PAB=70°，
∴∠PBA=∠PAB=70°，
∴∠APB=180°-∠PBA-∠PAB=40°；
（2）∵OP=OD，
∴∠D=∠OPD，
∵AC是直径，PA、PB是圆的切线，
∴PA=PB，OA⊥PA，即∠PAO=90°，
在△POA和△POB中，

PA=PB OA=OB OP=OP

，
∴△POA≌△POB，（SSS）
∴∠APO=∠OPD=∠D=

1

2

∠APD，即∠APD=2∠D，
∵RT△ADP中：∠APB+∠D=90°，
∴2∠D+∠D=90°，即∠D=30°，
∴∠APD=60°，
∴△APB是等边三角形，
∴∠PAB=60°，
∴∠1=∠PAO-∠PAB=90°-60°=30°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了切线的性质，本题中求证△POA≌△POB是解题的关键．