Question

【题目】在中，，以斜边为底边向外作等腰，连接．

（1）如图1，若．①求证：分；

②若，求的长．

（2）如图2，若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）①见详解,②7;（2）-

【解析】

（1）①过点P作PM⊥CA于点M，作PN⊥CB于点N，易证四边形MCNP是矩形，利用已知条件再证明△APM≌△BPN，因为PM＝PN，所以CP平分∠ACB；

②由题意可证四边形MCNP是正方形，

（2）如图，以AC为边作等边△AEC，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，由”SAS“可证△ABE≌△APC，可得BE＝CP＝5，由直角三角形的性质和勾股定理可求BC的长．

证明：（1）①如图1，过点P作PM⊥CA于点M，作PN⊥CB于点N，

∴∠PMC＝∠PNC＝90°，

∵∠ACB＝90°

∴四边形MCNP是矩形，

∴∠MPN＝90°，

∵PA＝PB，∠APB＝90°，

∴∠MPN∠APN＝∠APB∠APN，

∴∠APM＝∠NPB，

∵∠PMA＝∠PNB＝90°，

在△APM和△BPN中，

∴△APM≌△BPN（AAS），

∴PM＝PN，

∴CP平分∠ACB；

②∵四边形MCNP是矩形，且PN＝PM，

∴四边形MCNP是正方形，

∴PN＝CN＝PM＝CM

∴PC＝PN＝6，

∴PN＝6＝CN＝CM＝MP

∴AM＝CMAC＝1

∵△APM≌△BPN

∴AM＝BN，

∴BC＝CN＋BN＝6＋AM＝6＋1＝7．

（2）如图，以AC为边作等边△AEC，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，

∵△AEC是等边三角形

∴AE＝AC＝EC＝5，∠EAC＝∠ACE＝60°，

∵△APB是等腰三角形，且∠APB＝60°

∴△APB是等边三角形，

∴∠PAB＝60°＝∠EAC，AB＝AP，

∴∠EAB＝∠CAP，且AE＝AC，AB＝AP，

∴△ABE≌△APC（SAS）

∴BE＝CP＝5，

∵∠ACE＝60°，∠ACB＝90°，

∴∠ECF＝30°，

∴EF＝EC＝，FC＝EF＝，

∵BF＝，

∴BC＝BFCF＝-