Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|=0，线段AB交y轴于F点．

（1）求点A、B的坐标．

（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD的度数．

（3）如图3，

①求点F的坐标；

②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（-3，0），B（3，3）；（2）∠AMD=45°；（3）①F点坐标为（0，）；②满足条件的P点坐标为（0，5）；（0，-2）；（-10，0），（4，0）．

【解析】

（1）根据非负数的性质得a+b=0，a-b+6=0，然后解方程组求出a和b即可得到点A和B的坐标；
（2）由AB∥DE得∠ODE+∠DFB=180°，而∠DFB=∠AFO=90°-∠FAO，所以∠ODE+90°-∠FAO=180°，再根据角平分线定义得∠OAN=∠FAO，∠NDM=∠ODE，则∠NDM-∠OAN=45°，得∠NDM+∠DNM=135°，即可求出∠NMD=45°；
（3）①连结OB，如图3，设F（0，t），根据△AOF的面积+△BOF的面积=△AOB的面积，则可得到F点坐标为（0，）；
②先计算△ABC的面积=，分类讨论：当P点在y轴上时，设P（0，y），利用△ABP的三角形=△APF的面积+△BPF的面积，此时P点坐标为（0，5）或（0，-2）；当P点在x轴上时，设P（x，0），求出此时P点坐标．

解：（1）∵（a+b）2+|a-b+6|=0，
∴a+b=0，a-b+6=0，
∴a=-3，b=3，
∴A（-3，0），B（3，3）；

（2）如图2，

∵AB∥DE，
∴∠ODE+∠DFB=180°，
而∠DFB=∠AFO=90°-∠FAO，
∴∠ODE+90°-∠FAO=180°，
∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，
∴∠OAN=∠FAO，∠NDM=∠ODE，
∴∠NDM-∠OAN=45°，
而∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，
∴∠NDM-（90°-∠DNM）=45°，
∴∠NDM+∠DNM=135°，
∴180°-∠NMD=135°，
∴∠NMD=45°，
即∠AMD=45°；
（3）①连结OB，如图3，

设F（0，t），
∵△AOF的面积+△BOF的面积=△AOB的面积，
∴

解得：t=，
∴F点坐标为（0，）；
②存在．
△ABC的面积=，
当P点在y轴上时，设P（0，y），
∵△ABP的三角形=△APF的面积+△BPF的面积，
∴，

解得y=5或y=-2，
∴此时P点坐标为（0，5）或（0，-2）；
当P点在x轴上时，设P（x，0），
则，

解得：x=-10或x=4，
∴此时P点坐标为（-10，0），（4，0）
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，5）；（0，-2）；（-10，0），（4，0）．