Question

5．（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=1，（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=1，（$\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）=1…
观察上面的规律，计算下面的式子：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2012}+\sqrt{2011}}$+$\frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}}$．

Answer 1

分析 先分母有理化，然后根据二次根式的加减运算法则进行计算．

解答 解：原式=$\frac{（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$+$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$+…+$\frac{\sqrt{2012}-\sqrt{2011}}{（\sqrt{2012}+\sqrt{2011}）（\sqrt{2012}-\sqrt{2011}）}$+$\frac{\sqrt{2013}-\sqrt{2012}}{（\sqrt{2013}+\sqrt{2012}）（\sqrt{2013}-\sqrt{2012}）}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2012}$-$\sqrt{2011}$+$\sqrt{2013}$-$\sqrt{2012}$
=-1+$\sqrt{2013}$．

点评 主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．