Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．

（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；

（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）∠ADE＝15°；（2）见解析．

【解析】

（1）根据旋转的性质可得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，根据等边对等角即可求出∠CAD＝∠CDA＝75°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；

（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF＝AC，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AB＝AC，从而得出 BF＝AB，然后证出△ACD和△BCE为等边三角形，再利用HL证出△CFD≌△ABC，证出DF＝BE，即可证出结论．

（1）解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，

∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，

∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，

∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝15°；

（2）证明：如图2，连接AD

∵点F是边AC中点，

∴BF＝AF=CF＝AC，

∵∠ACB＝30°，

∴AB＝AC，

∴BF=CF＝AB，

∵△ABC绕点C顺时针旋转60得到△DEC，

∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC

∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，

∴BE＝CB，

∵点F为△ACD的边AC的中点，

∴DF⊥AC，

在Rt△CFD和Rt△ABC中

∴Rt△CFD≌Rt△ABC，

∴DF＝BC，

∴DF＝BE，

而BF＝DE，

∴四边形BEDF是平行四边形．