【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点,动点C(m,0)在线段OA上,将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上,过点D作DE⊥x轴于点E.
(1)求m和b的数量关系;
(2)当m=1时,如图2,将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′,当直线B′C′经过点D时,求点B′的坐标及△BCD平移的距离;
(3)在(2)的条件下,直线AB上是否存在一点P,以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,写出满足条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)b=3m;(2)个单位长度;(3)P(0,3)或(2,2)
【解析】
(1)易证△BOC≌△CED,可得BO=CE=b,DE=OC=m,可得点D坐标,代入解析式可求m和b的数量关系;
(2)首先求出点D的坐标,再求出直线B′C′的解析式,求出点C′的坐标即可解决问题;
(3)分两种情况讨论,由等腰直角三角形的性质可求点P坐标.
解:(1)直线y=﹣x+b中,x=0时,y=b,
所以,B(0,b),又C(m,0),
所以,OB=b,OC=m,
在和中
∴点
(2)∵m=1,
∴b=3,点C(1,0),点D(4,1)
∴直线AB解析式为:
设直线BC解析式为:y=ax+3,且过(1,0)
∴0=a+3
∴a=-3
∴直线BC的解析式为y=-3x+3,
设直线B′C′的解析式为y=-3x+c,把D(4,1)代入得到c=13,
∴直线B′C′的解析式为y=-3x+13,
当y=3时,
当y=0时,
∴△BCD平移的距离是个单位.
(3)当∠PCD=90°,PC=CD时,点P与点B重合,
∴点P(0,3)
如图,当∠CPD=90°,PC=PD时,
∵BC=CD,∠BCD=90°,∠CPD=90°
∴BP=PD
∴点P是BD的中点,且点B(0,3),点D(4,1)
∴点P(2,2)
综上所述,点P为(0,3)或(2,2)时,以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形.
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【题目】某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机,这两种手机的进价和售价如下表所示:
该商场计划购进两种手机若干部,共需15.5万元,预计全部销售后可获毛利润共2.1万元.
(毛利润=(售价﹣进价)×销售量)
(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部?
(2) 通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少甲种手机的购进数量,增加乙种手机的购进数量.已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍,而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元,该商场怎样进货,使全部销售后获得的毛利润最大?并求出最大毛利润.
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【题目】初二年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查,其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.评价组随机抽取了若干名初二学生的参与情况,绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图(均不完整),请根据图中所给信息解答下列问题:
(1)在这次评价中,一共抽查了 名学生;
(2)在扇形统计图中,项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 度;
(3)请将频数分布直方图补充完整;
(4)如果全市有6000名初二学生,那么在试卷评讲课中,“独立思考”的初二学生约有多少人?
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【题目】“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词,一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值.右图描述了某次单词复习中四位同学的单词记忆效率与复习的单词个数的情况,则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是( )
A. B. C. D.
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【题目】下面是“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程.
已知:线段.
求作:以为斜边的一个等腰直角三角形.
作法:如图,
(1)分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于,两点;
(2)作直线,交于点;
(3)以为圆心,的长为半径作圆,交直线于点;
(4)连接,.
则即为所求作的三角形.
请回答:在上面的作图过程中,①是直角三角形的依据是________;②是等腰三角形的依据是__________.
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【题目】正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙,开始时甲在A处,乙在C处,它们沿着正方形轨道顺时针同时出发,甲的速度为每秒1 cm,乙的速度为每秒5 cm,已知正方形轨道ABCD的边长为2 cm,则乙在第2 020次追上甲时的位置在( )
A.AB上B.BC上
C.CD上D.AD上
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