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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+bx轴、y轴相交于AB两点,动点Cm0)在线段OA上,将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上,过点DDEx轴于点E

1)求mb的数量关系;

2)当m1时,如图2,将BCD沿x轴正方向平移得BCD,当直线BC经过点D时,求点B的坐标及BCD平移的距离;

3)在(2)的条件下,直线AB上是否存在一点P,以PCD为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,写出满足条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1b=3m;(2个单位长度;(3P(0,3)或(22

【解析】

1)易证△BOC≌△CED,可得BO=CE=bDE=OC=m,可得点D坐标,代入解析式可求mb的数量关系;
2)首先求出点D的坐标,再求出直线B′C′的解析式,求出点C′的坐标即可解决问题;
3)分两种情况讨论,由等腰直角三角形的性质可求点P坐标.

解:(1)直线y=﹣x+b中,x0时,yb

所以,B0b),又Cm0),

所以,OBbOCm

∴点

2)∵m=1

b=3,点C10),点D41

∴直线AB解析式为:

设直线BC解析式为:y=ax+3,且过(10

0=a+3

a=-3

∴直线BC的解析式为y=-3x+3

设直线B′C′的解析式为y=-3x+c,把D41)代入得到c=13

∴直线B′C′的解析式为y=-3x+13

y=3时,

y=0时,

∴△BCD平移的距离是个单位.
3)当∠PCD=90°PC=CD时,点P与点B重合,
∴点P03
如图,当∠CPD=90°PC=PD时,

BC=CD,∠BCD=90°,∠CPD=90°
BP=PD
∴点PBD的中点,且点B03),点D41
∴点P22
综上所述,点P为(03)或(22)时,以PCD为顶点的三角形是等腰直角三角形.

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