Question

如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．

（1）求证：FD是⊙O的切线；

（2）若AF=8，tan∠BDF=，求EF的长．

Answer 1

 (1)证明:连接OD,

   ∵CO⊥AB,

   ∴∠E+∠C=90°,

   ∵∠DFO为△EFD的外角,且FD=FE,∠ODC为△EOD的外角,且OD=OC,

∴∠DFO=∠E+∠EDF=2∠E,∠DOF+∠E=∠ODC=∠C,

得∠DOF+∠E+∠DFO=∠C+2∠E,

即∠DOF+∠DFO=∠C+∠E=90°,

∴FD是⊙O的切线.

(2)解:连接AD,如图,

∵AB为⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,

∴∠A+∠ABD=90°,

∵OB=OD,

∴∠OBD=∠ODB,

∴∠A+∠ODB=90°,

∵∠BDF+∠ODB=90°,

∴∠A=∠BDF,

而∠DFB=∠AFD,

∴△FBD∽△FDA,

∴=,

在Rt△ABD中,tan∠A=tan∠BDF==,

∴=,

∴DF=2,

∴EF=2.