Question

【题目】已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．

（1）如图1，若AB为边在△ABC外作△ABE，AB＝AE，∠DAC＝∠EAB＝60°，求∠BFC的度数；

（2）如图2，∠ABC＝α，∠ACD＝β，BC＝4，BD＝6．

①若α＝30°，β＝60°，AB的长为　 　；

②若改变α、β的大小，且α+β＝90°，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1）∠BFC＝120°；（2）①2；（3）S△ABC＝BCAH＝2．

【解析】

（1）根据SAS，可首先证明△AEC≌△ABD，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出∠BFC的度数；

（2）①在△ABC外作等边△BAE，连接CE，证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC＝90°，EC＝BD＝6，在Rt△BCE中，由勾股定理求BE即可；

②过点B作BE∥AH，并在BE上取BE＝2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，证明△EAC≌△BAD，求得EC＝DB，利用勾股定理即可得出结论．

（1）∵∠EAB＝∠DAC＝60°，

∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，

∴∠EAC＝∠DAB，

在△AEC和△ABD中，

，

∴△AEC≌△ABD（SAS），

∴∠AEC＝∠ABD，

∵∠BFC＝∠BEF+∠EBF＝∠AEB+∠ABE，

∴∠BFC＝∠AEB+∠ABE＝120°；

（2）①如图2，以AB为边在△ABC外作正三角形ABE，连接CE．

由（1）可知△EAC≌△BAD．

∴EC＝BD．

∴EC＝BD＝6，

∵∠BAE＝60°，∠ABC＝30°，

∴∠EBC＝90°．

在Rt△EBC中，EC＝6，BC＝4，

∴EB＝ ,

∴AB＝BE＝；

故答案为：．

②如图2，作AH⊥BC交BC于H，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE＝2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．

∵AH⊥BC于H，

∴∠AHC＝90°．

∵K为BE的中点，BE＝2AH，

∴BK＝AH．

∵BK∥AH，

∴四边形AKBH为平行四边形．

又∵∠AHC＝90°，

∴四边形AKBH为矩形．

∴∠AKB＝90°,∠ABE＝∠ACD，

∴AK是BE的垂直平分线．

∴AB＝AE．

∵AB＝AE，AC＝AD，∠ABE＝∠ACD，

∴∠EAB＝∠DAC，

∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，

即∠EAC＝∠BAD，

在△EAC与△BAD中，

∴△EAC≌△BAD（SAS）．

∴EC＝BD＝6．

在Rt△BCE中，BE＝,

∴AH＝BE＝，

∴S△ABC＝BCAH＝2．