Question

【题目】如图，矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕AO与边BC交于点O，连结AP、OP．

（1）求证：△PDA∽△OCP；

（2）若tan∠PAO＝，求CP的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【解析】

（1）由矩形的性质可知∠B=∠C=∠D=90°，由翻折可知，∠APC=90°，利用余角的性质可知∴∠DAP=∠CPO，即可由相似三角形的判定推出结论；

（2）利用正弦函数的定义及相似三角形的性质可直接求出CP的长．

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B=∠C=∠D=90°，

由折叠，可知：∠APO=∠B=90°，

∴∠APD+∠CPO=90°，

∵∠APD+∠DAP=90°，

∴∠DAP=∠CPO，

∴△PDA∽△OCP；

（2）由折叠，可知：∠APO=∠B=90°，AP=AB，PO=BO，

∴tan∠PAO=，

∵△PDA∽△OCP，

∴，

∵AD=8，

∴CP=4．