Question

【题目】如图1，将等腰直角三角形绕点顺时针旋转至，为上一点，且，连接、，作的平分线交于点，连接．

（1）若，求的长；

（2）求证：；

（3）如图2，为延长线上一点，连接，作垂直于，垂足为，连接，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据题意及等腰直角三角形的性质可知AF=AD=DE=4，再利用勾股定理求出AE，然后根据线段之间的关系求解即可；

（2）过点A作AP⊥BF，根据角平分线、等腰三角形的性质可证明△PAG为等腰直角三角形，过点C作CQ⊥BF，利用AAS可证明△ABP≌△BCQ，再利用全等的性质及线段间的关系可证明△CQG为等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形边的性质可证明结论；

（3）过点B作BH⊥BN交NC的延长线于点H，利用AAS可证明△ABN≌△CBH，再利用全等的性质可证明△BHN为等腰直角三角形，从而可得到答案．

解：（1）由题可得，

∴在等腰中，，

∴；

（2）证明：如图，过作，

∵平分，且，

∴，

又∵，

∴，，

由题可得，，

∴，

∴，

∴，即为等腰直角三角形，

∴，，

过作，

∵，

∴，

在与中，，

∴△ABP≌△BCQ（AAS），

∴，，

又∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴；

（3）如图，过点B作BH⊥BN交NC的延长线于点H，

∵BH⊥BN，∠ABC=90°，

∴∠HBC+∠CBN=∠ABN+∠CBN，

∴∠HBC=∠ABN，

∵BH⊥BN，AN⊥CM，

∴∠BHC+∠CNB=∠ANB+∠CBN，

∴∠BHC=∠ANB，

在△ABN和△CBH中，，

∴△ABN≌△CBH（AAS），

∴BH=BN，CH=AN，

∴△BHN为等腰直角三角形，

∴HN=BN，

又∵HN=HC+CN=AN+CN，

∴AN+CN=BN，

∴．