Question

【题目】把一边长为36cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）

（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．

①要使折成的长方体盒子的底面积为676cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．

（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为880cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）

Answer 1

【答案】（1）①剪掉的正方形的边长为5cm， ②当剪掉的正方形的边长为9cm时，长方形盒子的侧面积最大为648cm2；（2）剪掉的正方形的边长为8cm．此时长方体盒子的长为20cm，宽为10cm，高为8cm．

【解析】分析：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（36-2x）2=676，求出即可；

②设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为Scm2，则y与x的函数关系为：S=4（36-2x）x，利用二次函数最值求出即可；

（2）设剪掉的长方形盒子的高为acm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为880cm2，得出等式方程求出即可．

详解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm．

则（36﹣2x）2=676，即36﹣2x=±26，

解得：x1=31（不合题意，舍去），x2=5，

∴剪掉的正方形的边长为5cm．

②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为Scm2，

则S与x的函数关系为：

S=（36﹣2x）×x×4=﹣8x2+144x=﹣（x﹣9）2+648，

∴x=9时，S最大=648．

即当剪掉的正方形的边长为9cm时，长方形盒子的侧面积最大为648cm2；

（2）在如图的一种剪裁图中，

设剪掉的正方形的边长为acm，长为（36﹣2a）cm，宽为（18﹣a）cm，高为acm．

（36﹣2a）×36+2a（18﹣a）=880

解得：a1=﹣26（不合题意，舍去），a2=8．

∴剪掉的正方形的边长为8cm．此时长方体盒子的长为20cm，宽为10cm，高为8cm．