【题目】如图,矩形ABCO的顶点B(10,8),点A,C在坐标轴上,E是BC边上一点,将△ABE沿AE折叠,点B刚好与OC边上点D重合,过点E的反比例函数y=的图象与边AB交于点F,则线段BF的长为_____.
【答案】
【解析】
首先根据翻折变换的性质,可得AD=AB=10,DE=BE;然后设点E的坐标是(10,b),在Rt△CDE中,根据勾股定理,求出CE的长度,进而求出k的值,再把F点的纵坐标代入解析式可求得F点的坐标,即可求得BF的长.
∵△ABE沿AE折叠,点B刚好与OC边上点D重合,
∴AD=AB=10,DE=BE,
∵AO=8,AD=10,
∴OD==6,
∴CD=10-6=4,
设点E的坐标是(10,b),
则CE=b,DE=10-b,
∵CD2+CE2=DE2,
∴42+b2=(8-b)2,
解得b=3,
∴点E的坐标是(10,3),
设反比例函数y=,
∴k=10×3=30,
∴反比例函数解析式为y=,
∵F点纵坐标为8,
∴8=,解得x=,即AF=,
∴BF=AB-AF=10-=,
故答案为:.
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【题目】某汽车制造厂生产一款电动汽车,计划一个月生产200辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人,他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?
(2)若工厂现在有熟练工人30人,求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划?
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【题目】阅读材料:若,求的值.
解:∵,∴,
,∴,,∴.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知,求的值;
(2)已知△ABC的三边长,且满足,求c的取值范围;
(3)已知,,比较的大小.
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【题目】如图,在中,,,于点D,点E是直线AC上一动点,连接DE,过点D作,交直线BC于点F.
探究发现:
如图1,若,点E在线段AC上,则______;
数学思考:
如图2,若点E在线段AC上,则______用含m,n的代数式表示;
当点E在直线AC上运动时,中的结论是否任然成立?请仅就图3的情形给出证明;
拓展应用:若,,,请直接写出CE的长.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,已知点且为轴上点右侧的动点,以为腰作等腰,使直线交轴于点.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)当点运动时,点在轴上的位置是否发生改变,为什么?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,⊙A与x轴交于B(2,0)、C(8,0)两点,与y轴相切于点D,则点A的坐标是( )
A. (5,4) B. (4,5) C. (5,3) D. (3,5)
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【题目】如图1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点E在AC上(且不与点A、C重合).在△ABC的外部作等腰Rt△CED,使∠CED=90°,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.
(1)求证:△AEF是等腰直角三角形;
(2)如图2,将△CED绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,连接AE,求证:AF=AE;
(3)如图3,将△CED绕点C继续逆时针旋转,当平行四边形ABFD为菱形,且△CED在△ABC的下方时,若AB=2,CE=2,求线段AE的长.
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