Question

6．设抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于两个不同的点A（一1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及∠ACB的度数；
（2）已知点D（1，n ）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先把A（-1，0）、B（4，0）代入y=ax²+bx-2，列出关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，得到抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，那么点C的坐标为（0，-2），再计算出AC²+BC²=AB²，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°；
（2）将D（1，n ）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，求得n=-3，即D（1，-3）．再将y=x+1与抛物线的解析式联立，求出E点坐标为（6，7）．过点E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），求出∠EAH=∠DBA=45°，那么∠DBH=135°，根据90°＜∠EBA＜135°，得到点P只可能在点B的左侧，设点P的坐标为（x，0），分两种情况讨论：①若△DBP₁∽△EAB，根据相似三角形对应边成比例求出BP₁=$\frac{15}{7}$，那么点P₁的坐标为（$\frac{13}{7}$，0）；若△DBP₂∽△BAE，根据相似三角形对应边成比例求出BP₂=$\frac{42}{5}$，那么点P₂的坐标为（-$\frac{22}{5}$，0）．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{16a+4b-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
∴点C的坐标为（0，-2）．
∵AC²=1²+2²=5，BC²=4²+2²=20，AB²=5²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°；

（2）将D（1，n ）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
得n=$\frac{1}{2}$×1²-$\frac{3}{2}$×1-2=-3，
∴D（1，-3）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=7}\end{array}\right.$，
∴E（6，7）．
过点E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），OH=6，EH=7．
∵A（-1，0），
∴AH=EH=7，∠EAH=45°，
∵∠DBA=45°，
∴∠EAH=∠DBA=45°，
∴∠DBH=135°，
∵90°＜∠EBA＜135°，
∴点P只可能在点B的左侧，设点P的坐标为（x，0），分两种情况讨论：
①若△DBP₁∽△EAB，可得$\frac{B{P}_{1}}{AB}$=$\frac{DB}{AE}$，即$\frac{B{P}_{1}}{5}$=$\frac{3\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}$，
解得BP₁=$\frac{15}{7}$，
∵4-x=$\frac{15}{7}$，
∴x=$\frac{13}{7}$，
∴点P₁的坐标为（$\frac{13}{7}$，0）；
②若△DBP₂∽△BAE，可得$\frac{B{P}_{2}}{AE}$=$\frac{BD}{AB}$，即$\frac{B{P}_{2}}{7\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
解得BP₂=$\frac{42}{5}$，
∵4-x=$\frac{42}{5}$，
∴x=-$\frac{22}{5}$，
∴点P₂的坐标为（-$\frac{22}{5}$，0）；
综上所述，所求点P的坐标为P₁（$\frac{13}{7}$，0），P₂（-$\frac{22}{5}$，0）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理及其逆定理，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二次函数交点坐标的求法，相似三角形的性质，利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．