Question

4．观察下列化简过程：
①$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
②$\frac{1}{\sqrt{18}}$=$\frac{1}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1×\sqrt{2}}{3\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$
③$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1
以上过程都是通过恒等值变形，将分母的根号（或根号中的分母）去掉，我们把这个过程叫做分母有理化，变形中分子分母分别乘的式子叫做它们的有理化因式，如①中的有理化因式是$\sqrt{3}$，②中的有理化因式是$\sqrt{2}$，③中的有理化因式是$\sqrt{2}$-1，解答下列问题：
（1）二次根式$\frac{1}{\sqrt{27}}$、$\sqrt{\frac{3}{8}}$、$\frac{3}{\sqrt{7}-2}$的有理化因式分别为$\sqrt{3}、\sqrt{2}、\sqrt{7}+2$；
（2）第（1）题中二次根式化简的结果分别为$\frac{\sqrt{3}}{9}、\frac{\sqrt{6}}{4}、\sqrt{7}+2$；
（3）计算：（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{98}}$）×（$\sqrt{99}$+1）

Answer 1

分析 （1）根据分母有理化的方法，分别求出二次根式$\frac{1}{\sqrt{27}}$、$\sqrt{\frac{3}{8}}$、$\frac{3}{\sqrt{7}-2}$的有理化因式即可；
（2）分别把每个二次根式的分子、分母同时乘以它们的有理化因式，将它们化简即可；
（3）首先根据分母有理化的方法，将每个二次根式化简，然后再根据平方差公式，求出算式的值是多少即可．

解答 解：（1）二次根式$\frac{1}{\sqrt{27}}$、$\sqrt{\frac{3}{8}}$、$\frac{3}{\sqrt{7}-2}$的有理化因式分别为 $\sqrt{3}、\sqrt{2}、\sqrt{7}+2$；

（2）$\frac{1}{\sqrt{27}}$=$\frac{1}{3\sqrt{3}}$=$\frac{1×\sqrt{3}}{3\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$；
$\sqrt{\frac{3}{8}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{3}×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$；
$\frac{3}{\sqrt{7}-2}$=$\frac{3×（\sqrt{7}+2）}{（\sqrt{7}-2）（\sqrt{7}+2）}=\frac{3×（\sqrt{7}+2）}{3}$=$\sqrt{7}+2$．

（3）（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{98}}$）×（$\sqrt{99}$+1）
=（$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}+\sqrt{5}-2+…+\sqrt{99}$-$\sqrt{98}$）×（$\sqrt{99}$+1）
=（$\sqrt{99}-1$）×（$\sqrt{99}$+1）
=${（\sqrt{99}）}^{2}{-1}^{2}$
=99-1
=98
故答案为：$\sqrt{3}、\sqrt{2}、\sqrt{7}+2$；$\frac{\sqrt{3}}{9}、\frac{\sqrt{6}}{4}、\sqrt{7}+2$．

点评 此题主要考查了分母有理化的含义，以及分母有理化的方法，要熟练掌握．