Question

【题目】如图，已知长方形中，，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点以个单位/秒的速度从出发，沿着运动到点停止，设点运动的时间为秒，的面积为。

（1）求当时，的值是________；当时，的值是________.

（2）当点在上时，求出与之间的关系式；

（3）当在线段上运动到某一时刻时，的周长最小时，求此时的度数.

Answer 1

【答案】（1）96，160；（2）；（3）.

【解析】

（1）当t=2时，判断出点P在AB上，利用三角形的面积公式得出结论；当t=6时，判断出点P在BC上，由长方形面积减去3个直角三角形的面积，即可得出结论；
（2）由长方形减去3个直角三角形的面积，即可得出结论；
（3）判断出点P的位置，即可得出结论．

解：（1）长方形ABCD中，AB=CD=16，BC=DA=24，AD∥BC，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，
∵P以4个单位/秒的速度从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，
∴当t=2时，则AP=4×2=8=AB，
即P为AB的中点，
∵E为CD边的中点，
∴四边形APED是矩形，
∴CE=DE=8，∠APE=∠B=90°，PE⊥AB，PE=BC=24，
∴△APE的面积为y=×24×8=96；
当t=6时，BP=6×4-AB=24-16=8，
∴PC=BC-BP=16，
∴△APE的面积为y=24×16-×16×8-×16×8-×24×8=160；
故答案为：96；160；
（2）当点P在BC上时，BP=4t-16，
则PC=24-（4t-16）=40-4t，
∴y=24×16-×16×（4t-16）-×（40-4t）×8-×24×8=-16t+256，
∴y与t之间的关系式为y=-16t+256；
（3）如图3，

延长EC到E'，使得E'C=EC，连接AE'，交BC于点P．
此时△APE周长最短；
∵EC=CE'=8，
∴EE'=16，DE'=24=AD，
∴AE'=AD=24，
∵PC⊥EE'且平分EE'，
∴PE=PE'，
∴AP+PE=24，∵AD=，24，DE=8，
∴AE==8，
∴△APE的周长最小值=24+8；
在Rt△ADE'中，∵AD=DE'，∠D=90°，
∴△ADE'是等腰直角三角形，
∴∠DAE'=45°，
∴∠PAB=45°．