Question

【题目】如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C，其中A点的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；

（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；（3）．

【解析】

（1）先根据点A坐标及对称轴得出点B坐标，再利用待定系数法求解可得；

（2）利用（1）得到的解析式，可设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．然后依据S△POC＝4S△BOC列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；

（3）先求得直线AC的解析式，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q的坐标为（x，﹣x﹣3），然后可得到QD与x的函数的关系，最后利用配方法求得QD的最大值即可．

解：（1）∵抛物线与x轴的交点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，

∴抛物线与x轴的交点B的坐标为（1，0），

设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），

将点C（0，﹣3）代入，得：﹣3a＝﹣3，

解得a＝1，

则抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；

（2）设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．

∵S△POC＝4S△BOC，

∴OC|a|＝4×OCOB，即×3×|a|＝4××3×1，解得a＝±4．

当a＝4时，点P的坐标为（4，21）；

当a＝﹣4时，点P的坐标为（﹣4，5）．

∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）．

（3）如图所示：

设AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A的坐标代入得：﹣3k﹣3＝0，解得k＝﹣1，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．

设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q的坐标为（x，﹣x﹣3）．

∴QD＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x＝﹣（x2+3x+﹣）＝﹣（x+）2+，

∴当x＝﹣时，QD有最大值，QD的最大值为．