Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC边OA，OC分别在x轴，y的正半轴上，且OA＝8，OC＝6，连接AC，点D为AC中点，点E从点C出发以每秒1个单位长度运动到点O停止，设运动时间为t秒（0＜t＜6），连接DE，作DF⊥DE交OA于点F，连接EF．

（1）当t的值为　 　时，四边形DEOF是矩形；

（2）用含t的代数式表示线段OF的长度，并说明理由；

（3）当△OEF面积为时，请直接写出直线DE的解析式．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）+t；（3）y＝﹣x+4或y＝﹣x+．

【解析】

（1）根据DE⊥OC得到DE∥OA，由线段的中点的定义得到CD=AD，从而可得到结论；
（2）如图所示：作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，推出四边形DMON是矩形，求得DM=OC=3，DN=OA=4，根据相似三角形的性质得到FM=EN，于是得到结论；
（3）由OA=8，OC=6，得到A（8，0），C（0，6），求得D（4，3），根据三角形的面积列方程得到t=2或，从而可得到直线DE的解析式．

（1）根据平行线的判定定理得到DE∥OA，由线段的中点的定义得到CD＝AD，于是得到结论，

（2）如图所示：作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，推出四边形DMON是矩形，求得DM＝OC＝3，DN＝OA＝4，根据相似三角形的性质得到FM＝EN，于是得到结论；

（3）由OA＝8，OC＝6，得到A（8，0），C（0，6），求得D（4，3），根据三角形的面积列方程得到t＝2或，于是得到结论．

【解答】

解：（1）当DE⊥OC时，四边形DEOF是矩形；

∵DE⊥OC，

∴DE∥OA，

∵点D为AC中点，

∴CD＝AD，

∴CE＝OE＝OC＝3，

∴t＝3，

∴当t的值为3s时，四边形DEOF是矩形，

故答案为：3；

（2）如图所示：作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，

∵四边形OABC是矩形，

∴OA⊥OC，

∴四边形DMON是矩形，

∴∠MDN＝90°，DM∥OC，DN∥OA，

∴＝，＝，

∵点D为OB的中点，

∴M、N分别是OA、AB的中点，

∴DM＝OC＝3，DN＝OA＝4，

∵∠EDF＝90°，

∴∠FDM＝∠EDN，

又∵∠DMF＝∠DNE＝90°，

∴△DMF∽△DNE，

∴＝＝，

∴FM＝EN，

∵CN＝OC＝3，CE＝t，

∴EN＝3﹣t，

∴FM＝EN＝﹣t，

∴OF＝4﹣FM＝+t；

（3）∵OA＝8，OC＝6，

∴A（8，0），C（0，6），

∵点D为AC中点，

∴D（4，3），

∵CE＝t，

∴OE＝6﹣t，

∵OF＝+t，

∴△OEF面积＝OEOF＝（6﹣t）（+t）＝，

解得：t＝2或，

当t＝2时，点E（0，4），

∴直线DE的解析式为y＝﹣x+4；

当t＝时，点E（0，），

∴直线DE的解析式为y＝﹣x+，

综上所述，直线DE的解析式为y＝﹣x+4或y＝﹣x+．