【题目】如图1,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C.
(1)直接写出A,B,C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)如图2,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P位线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;用含m的代数式表示线段PF的长;并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
(3)如图3,连接AC,在x轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形,若存在,请求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3,则A(﹣1,0),B(3,0),
当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C(0,3);
抛物线的对称轴是直线x= =1
(2)解:设直线BC的函数关系式为y=kx+b,
把B(3,0),C(0,3)分别代入得 ,解得k=﹣1,b=3,
∴直线BC的函数关系式为y=﹣x+3,
∵对称轴是直线x=1,
∴E(1,2),
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4),
当x=m 时,y=﹣m+3,
∴P(m,﹣m+3),F(m,﹣m2+2m+3),
∴线段DE=4﹣2=2,线段PF=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m;
∵PF∥DE,
∴当PF=ED时,四边形PEDF为平行四边形,即﹣m2+3m=2,解得m1=2,m2=1(不合题意,舍去),
∴当m=2时,四边形PEDF为平行四边形
(3)解:设在x轴上存在点Q(x,0),使△ACQ为等腰三角形.分三种情况:
①如果QA=QC,那么(x+1)2=x2+32,
解得x=4,
则点Q1(4,0);
②如果CA=CQ,那么12+32=x2+32,
解得x1=1,x2=﹣1(不合题意舍去),
则点Q2(1,0);
③如果AC=AQ,那么12+32=(x+1)2,
解得x1= ﹣1,x2=﹣ ﹣1,
则点Q3( ﹣1,0),Q4(﹣ ﹣1,0);
综上所述存在点Q,使△ACQ为等腰三角形.它的坐标为:Q1(4,0),Q2(1,0),Q3( ﹣1,0),Q4(﹣ ﹣1,0).
【解析】(1)通过解方程-x2+2x+3=0可得A点和B点坐标,再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标,然后利用对称性可确定抛物线的对称轴;
(2)先利用待定系数法求出直线BC的函数关系式为y=-x+3,再确定E(1,2),D(1,4),表示出P(m,-m+3),F(m,-m2+2m+3),接着计算出DE=2,PF=-m2+3m,然后利用平行四边形的判定方法得到-m2+3m=2,再解方程求出m即可.
(3)分三种情况:QA=QC;CA=CQ;AC=AQ;进行讨论即可求解.
【考点精析】利用一次函数的性质和坐标确定位置对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一般地,一次函数y=kx+b有下列性质:(1)当k>0时,y随x的增大而增大(2)当k<0时,y随x的增大而减小;对于平面内任一点P,过P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别在x轴,y轴上,对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标.
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【题目】如图,已知直线y= x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P在以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA、PB,则△PAB面积的最大值是 .
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【题目】△ABC在平面直角坐标系中,且A(-2,1)、B(-3,-2)、C(1,-4).将其平移后得到△A1B1C1,若A,B的对应点是A1,B1,C的对应点C1的坐标是(3,-1).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC和△A1B1C1;
(2)写出点A1的坐标是_____________,B1坐标是___________;
(3)此次平移可看作△ABC向________,平移了____________个单位长度,再向_______平移了______个单位长度得到△A1B1C1.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上,以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2 , 再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3 , 以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是 .
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【题目】已知x=﹣3是关于x的方程(k+3)x+2=3x﹣2k的解.
(1)求k的值;
(2)在(1)的条件下,已知线段AB=6cm,点C是直线AB上一点,且BC=kAC,若点D是AC的中点,求线段CD的长.
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【题目】如图1,BC⊥AF于点C,∠A+∠1=90°.
(1)求证:AB∥DE;
(2)如图2,点P从点A出发,沿线段AF运动到点F停止,连接PB,PE.则∠ABP,∠DEP,∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系(不考虑点P与点A,D,C重合的情况)?并说明理由.
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【题目】星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售,其进价与售价如表:
进价(元/台) | 售价(元/台) | |
电饭煲 | 200 | 250 |
电压锅 | 160 | 200 |
(1)一季度,橱具店购进这两种电器共30台,用去了5600元,并且全部售完,问橱具店在该买卖中赚了多少钱?
(2)为了满足市场需求,二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台,且电饭煲的数量不少于电压锅的 ,问橱具店有哪几种进货方案?并说明理由;
(3)在(2)的条件下,请你通过计算判断,哪种进货方案橱具店赚钱最多?
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【题目】九(1)班同学为了解2011年某小区家庭月均用水情况,随机调查了该小区部分家庭,并将调查数据进行如下整理.请解答以下问题:
(1)把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整;
(2)若该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比;
(3)若该小区有1000户家庭,根据调查数据估计,该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户?
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【题目】某市举行“行动起来,对抗雾霾”为主题的植树活动,某街道积极响应,决定对该街道进行绿化改造,共购进甲、乙两种树共500棵,已知甲树每棵800元,乙树每棵1200元.
(1)若购买两种树总金额为560000元,求甲、乙两种树各购买了多少棵?
(2)若购买甲树的金额不少于购买乙树的金额,至少应购买甲树多少棵?
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