精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图1,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C.

(1)直接写出A,B,C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)如图2,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P位线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;用含m的代数式表示线段PF的长;并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
(3)如图3,连接AC,在x轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形,若存在,请求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3,则A(﹣1,0),B(3,0),

当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C(0,3);

抛物线的对称轴是直线x= =1


(2)解:设直线BC的函数关系式为y=kx+b,

把B(3,0),C(0,3)分别代入得 ,解得k=﹣1,b=3,

∴直线BC的函数关系式为y=﹣x+3,

∵对称轴是直线x=1,

∴E(1,2),

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴顶点D的坐标为(1,4),

当x=m 时,y=﹣m+3,

∴P(m,﹣m+3),F(m,﹣m2+2m+3),

∴线段DE=4﹣2=2,线段PF=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m;

∵PF∥DE,

∴当PF=ED时,四边形PEDF为平行四边形,即﹣m2+3m=2,解得m1=2,m2=1(不合题意,舍去),

∴当m=2时,四边形PEDF为平行四边形


(3)解:设在x轴上存在点Q(x,0),使△ACQ为等腰三角形.分三种情况:

①如果QA=QC,那么(x+1)2=x2+32

解得x=4,

则点Q1(4,0);

②如果CA=CQ,那么12+32=x2+32

解得x1=1,x2=﹣1(不合题意舍去),

则点Q2(1,0);

③如果AC=AQ,那么12+32=(x+1)2

解得x1= ﹣1,x2=﹣ ﹣1,

则点Q3 ﹣1,0),Q4(﹣ ﹣1,0);

综上所述存在点Q,使△ACQ为等腰三角形.它的坐标为:Q1(4,0),Q2(1,0),Q3 ﹣1,0),Q4(﹣ ﹣1,0).


【解析】(1)通过解方程-x2+2x+3=0可得A点和B点坐标,再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标,然后利用对称性可确定抛物线的对称轴;
(2)先利用待定系数法求出直线BC的函数关系式为y=-x+3,再确定E(1,2),D(1,4),表示出P(m,-m+3),F(m,-m2+2m+3),接着计算出DE=2,PF=-m2+3m,然后利用平行四边形的判定方法得到-m2+3m=2,再解方程求出m即可.
(3)分三种情况:QA=QC;CA=CQ;AC=AQ;进行讨论即可求解.
【考点精析】利用一次函数的性质和坐标确定位置对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一般地,一次函数y=kx+b有下列性质:(1)当k>0时,y随x的增大而增大(2)当k<0时,y随x的增大而减小;对于平面内任一点P,过P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别在x轴,y轴上,对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知直线y= x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P在以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA、PB,则△PAB面积的最大值是

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】ABC在平面直角坐标系中,且A-21)、B-3,-2)、C1-4).将其平移后得到△A1B1C1,若AB的对应点是A1B1C的对应点C1的坐标是(3-1).

1)在平面直角坐标系中画出△ABC和△A1B1C1

2)写出点A1的坐标是_____________B1坐标是___________

3)此次平移可看作△ABC________,平移了____________个单位长度,再向_______平移了______个单位长度得到△A1B1C1

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上,以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2 , 再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3 , 以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知x=﹣3是关于x的方程(k+3x+2=3x﹣2k的解.

1)求k的值;

2)在(1)的条件下,已知线段AB=6cm,点C是直线AB上一点,且BC=kAC,若点DAC的中点,求线段CD的长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图1BCAF于点C,∠A+∠190°.

1)求证:ABDE

2)如图2,点P从点A出发,沿线段AF运动到点F停止,连接PBPE.则∠ABP,∠DEP,∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系(不考虑点P与点ADC重合的情况)?并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售,其进价与售价如表:

进价(元/台)

售价(元/台)

电饭煲

200

250

电压锅

160

200


(1)一季度,橱具店购进这两种电器共30台,用去了5600元,并且全部售完,问橱具店在该买卖中赚了多少钱?
(2)为了满足市场需求,二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台,且电饭煲的数量不少于电压锅的 ,问橱具店有哪几种进货方案?并说明理由;
(3)在(2)的条件下,请你通过计算判断,哪种进货方案橱具店赚钱最多?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】九(1)班同学为了解2011年某小区家庭月均用水情况,随机调查了该小区部分家庭,并将调查数据进行如下整理.请解答以下问题:

(1)把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整;

(2)若该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比;

(3)若该小区有1000户家庭,根据调查数据估计,该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某市举行“行动起来,对抗雾霾”为主题的植树活动,某街道积极响应,决定对该街道进行绿化改造,共购进甲、乙两种树共500棵,已知甲树每棵800元,乙树每棵1200元.
(1)若购买两种树总金额为560000元,求甲、乙两种树各购买了多少棵?
(2)若购买甲树的金额不少于购买乙树的金额,至少应购买甲树多少棵?

查看答案和解析>>

同步练习册答案