Question

（1）如图①，已知AB∥EF，P是直线AB，EF外一点，连结PA，PE，探究∠PAB，∠PEF及∠APE的三者之间的关系．
（2）若改变点P的位置如图②、③、④等位置时，（1）中的结论是否成立？如果成立，说明理由；如果不成立，请写出三者之间的关系．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）如图①，过点P作PC∥AB，根据平行公理求出PC∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠APC=∠PAB，∠CPE=∠PEF，再根据∠APE=∠APC+∠CPE等量代换即可得证；
（2）如图②，过点P作PC∥AB，根据平行公理求出PC∥EF，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠APC+∠PAB=180°，∠CPE+∠PEF=180°，再根据∠APE=∠APC+∠CPE等量代换即可得证；
如图③，根据两直线平行，根据同位角相等可得∠PCB=∠PEF，再根据三角形外角的性质即可得证；
如图④，反向延长AB交PE于C，根据同位角相等可得∠PCB=∠PEF，再根据三角形外角的性质即可得证．

解答：解：（1）如图①，过点P作PC∥AB，
∵AB∥EF，
∴PC∥EF，
∴∠APC=∠PAB，∠CPE=∠PEF，
∵∠APE=∠APC+∠CPE，
∴∠APE=∠BAP+∠PEF；
（2）如图②，过点P作PC∥AB，
∵AB∥EF，
∴PC∥EF，
∴∠APC+∠PAB=180°，∠CPE+∠PEF=180°，
∵∠APE=∠APC+∠CPE
∴∠PAB+∠PEF+∠APE=360°；
如图③，∵AB∥EF，
∴∠PCB=∠PEF，
∵∠PCB=∠PAB+∠APE，
∴∠PEF=∠PAB+∠APE；
如图④，反向延长AB交PE于C，
∵AB∥EF，
∴∠PCB=∠PEF，
∵∠PAB=∠PCB+∠APE，
∴∠PAB=∠PEF+∠APE．

点评：本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，此类题目，过拐点作平行线是解题的关键．