Question

【题目】（1）问题发现

如图①，是等腰直角三角形，四边形是正方形，点与点重合，则线段与之间的数量关系和位置关系分别是 ．

（2）深入探究

如图②，是等腰直角三角形，四边形是正方形，点在直线上，对角线所在的直线交直线于点，则线段之间有什么数量关系？请仅就图②给出证明．

（3）拓展思维

如图②，若点在直线上，且线段，当时，直接写出此时正方形的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）5或13

【解析】

（1）根据已知可得CF⊥BC，AD⊥BC，即可得出BD⊥CF，再根据等腰三角形的性质即可得出BD=CF；

（2）连接DF，GF，先证明△BAD≌△CAF，再根据勾股定理即可证明；

（3）分①当D在BC上时和②当D在BC的延长线上时，两种情况结合正方形的性质及勾股定理进行讨论求解即可．

解：（1）BD=CF，BD⊥CF

∵ADEF是正方形，

∴∠ADE=∠FCD=90°，AD=CD=CF=AF，

∴CF⊥BC，AD⊥BC，

∴BD⊥CF，

∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，

∴D是BC中点，

∴BD=CD，

∴BD=CF；

（2）BD2+CG2=DG2，

证明：连接DF，GF，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AE垂直平分DF，AD=AF，∠DAF=90°，

∴DG=FG，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，

∴∠GCF=∠ACB+∠ACF=90°，

在Rt△GCF中，由勾股定理，得CF2+CG2=FG2，

∴BD2+CG2=DG2；

（3）①当D在BC上时，

如图，过A点作AH⊥BC于点H，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AH=BH=BC=2，

∵BD=1，

∴DH=BH-BD=1，

∴在Rt△ADH中，AD==，

∴S正方形ADEF=AD2=5；

②当D在BC的延长线上时，

如图，过A点作AH⊥BC于点H，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AH=BH=BC=2，

∵BD=1，

∴DH=BH+BD=3，

∴在Rt△ADH中，AD==，

∴S正方形ADEF=AD2=13；

综上：正方形ADEF的面积为5或13．