Question

已知，如图，MN是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥MN，垂足为点P，半径OC，OD分别交MN于点E，F，且OE=OF．求证：
（1）ME=NF．
（2）

MC

=

ND

．

Answer 1

考点：垂径定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：（1）先根据垂径定理得出PM=PN，再由OE=OF可知PE=PF，由此可得出结论；
（2）先根据垂径定理得出

AM

=

AN

，再由OE=OF可知OA是线段EF的垂直平分线，故

AC

=

AD

，由此可得出结论．

解答：证明：（1）∵MN是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥MN，
∴PM=PN．
∵OE=OF，
∴OA是线段EF的垂直平分线，
∴PE=PF，
∴ME=NF；

（2）∵MN是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥MN，
∴

AM

=

AN

．
∵OE=OF，
∴OA是线段EF的垂直平分线，
∴

AC

=

AD

，
∴

MC

=

ND

．

点评：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．