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【题目】如图,抛物线y=ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)AB=4,与y轴交于点C,OC=OA,点D为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点M(m,0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N,可得矩形PQNM,如图1,点P在点Q左边,当矩形PQNM的周长最大时,求m的值,并求出此时的△AEM的面积;

(3)已知H(0,﹣1),点G在抛物线上,连HG,直线HG⊥CF,垂足为F,若BF=BC,求点G的坐标.

【答案】1y=x22x+3 2m=2,

3)点G的坐标为( )或( ).

【解析】试题分析:(1)根据抛物线y=ax2+2ax+c,可得C0c),对称轴为x﹣1,再根据OC=OAAB=4,可得A﹣30),最后代入抛物线y=ax2+2ax+3,得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3

2)根据点Mm0),可得矩形PQNM中,Pm﹣m2﹣2m+3),Q﹣2﹣m﹣m2﹣2m+3),再根据矩形PQNM的周长=2PM+PQ=﹣2m+22+10,可得当m=﹣2时,矩形PQNM的周长有最大值10M的坐标为(﹣20),最后由直线ACy=x+3AM=1,求得E﹣21),ME=1,据此求得AEM的面积;

3)连接CB并延长,交直线HGQ,根据已知条件证明BC=BF=BQ,再根据C03),B10),得出Q23),根据H01),求得QH的解析式为y=x1,最后解方程组可得点G的坐标.

试题解析:1)由抛物线y=ax2+2ax+c,可得C0c),对称轴为x==1

OC=OA

A﹣c0),B﹣2+c0),

AB=4

﹣2+c﹣﹣c=4

c=3

A﹣30),

代入抛物线y=ax2+2ax+3,得

0=9a﹣6a+3

解得a=﹣1

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3

2)如图1

Mm0),PMx轴,

Pm﹣m2﹣2m+3),

又∵对称轴为x=﹣1PQAB

Q﹣2﹣m﹣m2﹣2m+3),

又∵QNx轴,

∴矩形PQNM的周长

=2PM+PQ

=2[﹣m2﹣2m+3+﹣2﹣m﹣m]

=2﹣m2﹣4m+1

=﹣2m+22+10

∴当m=﹣2时,矩形PQNM的周长有最大值10

此时,M﹣20),

A﹣30),C03),可得

直线ACy=x+3AM=1

∴当x=﹣2时,y=1,即E﹣21),ME=1

∴△AEM的面积=×AM×ME=×1×1=

3)如图2,连接CB并延长,交直线HGQ

HGCFBC=BF

∴∠BFC+BFQ=BCF+Q=90°BFC=BCF

∴∠BFQ=Q

BC=BF=BQ

又∵C03),B10),

Q2﹣3),

又∵H0﹣1),

QH的解析式为y=﹣x﹣1

解方程组,可得

∴点G的坐标为( )或( ).

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