Question

2．在四边形ABCD中，∠BAC+∠BDC=180°，BD=DC，求证：AD平分∠BAC．

Answer 1

分析 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F，根据四边形的内角和得到∠BAC+∠EDF=180°，等量代换即可得到∠BDC=∠EDF，进而得到∠BDE=∠CDF，再证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得到DE=DF，所以AD平分∠BAC．

解答 解：如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=90°，∠AFD=90°，
∴∠AED+∠AFD=180°，
∴在四边形AEDF中，∠EAC+∠EDF=360°-（∠AED+∠AFD）=180°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠BDC=∠EDF，
∴∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDF，
∴∠BDE=∠CDF，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD=90°}\\{∠BDE=∠CDF}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，角平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．