Question

14．已知A（0，a），B（b，0），且a，b满足（2a-1）²+|b-$\frac{1}{2}$|=0．

（1）求△AOB的面积；
（2）如图，点C在线段AB上（A．B两端点除外），AD⊥AB，且∠DOC=45°，求证：OD平分∠ADC；
（3）若C是射线BA上一动点（点C为AB的中点除外，且点C不与A点重合），连CO，将OC绕C顺时针方向旋转90°到CD，连AD，求∠CAD的度数．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质得到2a-1=0，b-$\frac{1}{2}$=0，求得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，得到OA=OB=$\frac{1}{2}$，根据三角形的面积公式即可得到结果；
（2）延长DA到E，使AE=BC，根据AD⊥AB，求得∠OAE=45°=∠OBC，推出△OAE≌△OBC，根据全等三角形的性质得到OE=OC，∠EOA=∠COB，由∠DOC=45°，于是得到∠DOE=∠EOA+∠AOD=∠COB+∠AOD=90°-∠DOC=45°，推出△ODE≌△ODC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）①如图2：当C点在线段AB外，过O作OE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F，根据等腰直角三角形的性质得到OE=AE，通过△CDF≌△COE，得到DF=CE，CF=OE证得△ADF是等腰直角三角形，于是得到结论；②当C点在线段AB内，如图3所示，过O作OE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F，根据等腰直角三角形的性质得到OE=AE，通过△CDF≌△COE，得到DF=CE，CF=OE证得△ADF是等腰直角三角形，于是得到结论．

解答 解：（1）∵a，b满足（2a-1）²+|b-$\frac{1}{2}$|=0，
∴2a-1=0，b-$\frac{1}{2}$=0，
∴a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$；
（2）∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
如图1，延长DA到E，使AE=BC，连接OE，
∵AD⊥AB，∴∠OAE=45°=∠OBC，
在△OAE与△OBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BC}\\{∠EAO=∠OBC}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OBC，
∴OE=OC，∠EOA=∠COB，
∵∠DOC=45°，
∴∠DOE=∠EOA+∠AOD=∠COB+∠AOD=9°-∠DOC=45°，
在△ODE与△ODC中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OC}\\{∠DOE=∠DOC}\\{OD=DO}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△ODC，
∴∠ODE=∠ODC，
即OD平分∠ADC；

（3）①如图1，当点C与点B重合时，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠OAB=45°，
∵OC=CD，∴OD=CD，
∴四边形ADOC是正方形，
∴∠OAD=90°，
∴∠CAD=∠AOD-∠OAB=45°；
②如图2，当C在AB中点与B相连的线段上时，过D作DM⊥AB，ON⊥AB，
∴∠CMD=∠ONC=90°，
∵∠DCO=90°，
∴∠DCM+∠OCM=90°，
∴∠DCM=∠OCN，
在△DCM与△OCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠ONC}\\{∠DCM=∠OCN}\\{CD=CO}\end{array}\right.$，
∴△DCM≌△OCN，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴∠MOA=45°，
∴NA=NO，
∴AN=MC，
∴AM=NC，
∴AM=MD，
∴∠CAD=$\frac{180°-90°}{2}$=45°；
③如图3，当C在AB是中点与A之间时，同理AM=MD，∴∠MAD=45°，
∴∠DAC=180°-∠MAD=135°；
④如图4，当C在BA的延长线上时，同理可得AM=MD，
∴∠DAC=45°，
综上所述，∠CAD的度数为45°或135°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．