Question

【题目】如图，二次函数y=﹣x2+bx的图象与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与y轴的正半轴交于点B，与二次函数的图象交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．设二次函数图象的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；

（3）如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x；（2）B（0，2）；（3）E（2，﹣12+8）

【解析】整体分析：

（1）把A（4，0）代入抛物线y=﹣x2+bx即可求b；（2）由抛物线的性质求OF，AF的长，根据平行线分线段成比例定理，及CE=3BC，求OH，则可得CH，由△ACH∽△ABC求OB；（3）设点C的坐标为（x，﹣x2+4x），由△ACH∽△AEF，用x表示点E的坐标，根据ED=EH，用勾股定理列方程求解.

解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx经过点A（4，0），

∴﹣16+4b=0，∴b=4，

∴y=﹣x2+4x，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；

（2）∵y=﹣（x﹣2）2+4，顶点D的坐标是（2，4），∴OF=AF=2，

∵BO∥CH∥EF，∴=

∵CE=3BC，∴=，

∴OH=，∴CH=y﹣（﹣2）2+4=，

∵BO∥CH，∴△ACH∽△ABC，

∴=，∴=，∴OB=2，

∴B（0，2）；

（3）设点C的坐标为（x，﹣x2+4x），则H（x，0），

∵EF∥CH，∴△ACH∽△AEF，

∴=，∴=，∴EF=2x，∴E（2，2x），

∵EH=DE，∴=4﹣2x，

∴x1=﹣6+4，x2=﹣6﹣4（舍），

∴EF=2x=﹣12+8，

∴E（2，﹣12+8）．