Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD的中点，直角∠GEF的两直角边EF、EG分别交CD、BC于点F、G．

（1）若点F是边CD的中点，求EG的长．

（2）当直角∠GEF绕直角顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC交于点F、G．∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠EFG的值．

（3）当直角∠GEF绕顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC所在的直线交于点F、G．在图2中画出图形，并判断∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出tan∠EFG的值．

（4）如图3，连接CE交FG于点H，若，请求出CF的长．

Answer 1

【答案】（1）EG=3；（2）不变， tan∠EFG=；（3）不变化．tan∠EFG=；（4）．

【解析】

(1)根据点E是对角线的中点，点F是CD的中点，可证EF∥BC，再根据∠GEF=90°，∠C=90°可得四边形EGCF为矩形，则点G是BC的中点，则可解得EG的长；

（2）作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，得矩形ENCM，易证得△GEN∽△FEM，则有

，所以tan∠EFG=，且∠EFG不变化；

(3)画出图形，仿照（2）中分析过程，即可得出∠EFG不变化，且tan∠EFG=；

(4) 过E分别做ET⊥GF于T，EU⊥CD于U，由tan∠EFG=可设EG=3a，EF=4a，

则GF=5a，ET=，GT=，由可求出FH=，GH=，进而分别求出EH和CH的长，易证ΔFHC∽ΔEHG，则，由此求出a值，进而分别EF、UF的长，即可求出CF的长.

（1）∵E、F为BD、CD的中点

∴EF为△BCD的中位线

∴EF=BC=4， EF∥BC

∵矩形ABCD中，∠C=90°

∴∠EFC=90°

∵∠GEF=90°

∴四边形EGCF为矩形

∴EG=FC==3，

（2）不变化．

如图，作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，得矩形ENCM，

∴∠NEM=90°

∵∠GEF=90°

∴∠GEN=∠FEM

∴△GEN∽△FEM

∴

即 tan∠EFG=；

（3）如图所示，不变化．tan∠EFG=;

理由：作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，得矩形ENCM，

∴∠NEM=90°

∵∠GEF=90°

∴∠GEN=∠FEM，又∠ENG=∠EMF=90，

∴△GEN∽△FEM

∴

即 tan∠EFG=；

(4)过E分别做ET⊥GF于T，EU⊥CD于U，

∵tan∠EFG=，∠GEF=90，

故可设EG=3a，EF=4a，

则GF=5a，ET=，GT=，

∵，

∴FH=，GH=，

∴HT=GH-GT=-=，

∴EH===，

∵∠BCD=90，BC=8，AB=CD=6，

∴BD=10，又E是BD的中点，

∴CE=BD=5，

∴CH=CE-EH=5-，

∵tan∠CE=，tan∠EGF=，

∴∠UCE=∠EGF，又∠CHF=∠EHG，

∴ΔFHC∽ΔEHG，

∴，即，

∴×(5-)=×，

∴，

∴EF=，

∴UF==，

∴CF=CU-UF=3-=.