Question

【题目】如图，已知AB=10，P是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别以AP、PB为边作等边三角形APC和等边三角形PBD，连结CD.

（1）当AP＝6时，求CD的长；

（2）当AP为多少时，CD的值最小，最小值是多少？

Answer 1

【答案】（1）2；（2）当AP＝5时，CD的长度最小，最小值是5.

【解析】

（1）如图，过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G．即可得四边形DFEG为矩形.根据等边三角形的性质及矩形的性质求得EF=5，CG=，再利用勾股定理求得CD的长即可；（2）在（1）的基础上可得CD= ，当CG=0时，CD有最小值，由此求得CD的长即可.

（1）如图，过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G．即可得四边形DFEG为矩形.

∵AB=10，AP=6，

∴PB=4，

∵△APC和△PBD是等边三角形，CE⊥AB ， DF⊥PB，

∴EP=AP=3，PF=PB=2，

∴EF=EP+FP=5.

在Rt△DPF中，DP=4，PF=2，

由勾股定理求得DF=.

在Rt△CEP中，PC=6，PE=3，

由勾股定理求得CE=.

由矩形的性质可得，DG=EF=5，EG=DF，

∴CG=.

在Rt△CGD中，DG=5，CG=，由勾股定理求得CD=2；

（2）如图， 由（1）得，DG=EF=AB=5，CD≥DG，

∴CD= ，故CG=0时，CD有最小值，

当P为AB中点时，有CD=DG=5，

所以CD长度的最小值是5．