Question

【题目】已知：抛物线y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧）．

（1）不论a取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C，请直接写出点C的坐标；

（2）如图，当AC⊥BC时，求a的值和AB的长；

（3）在（2）的条件下，若点P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为h，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点D，作PE∥AC交BC于点E，设△ADE的面积为S，请求出S与h的函数关系式，并求出S取得最大值时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）；（2）a＝，AB＝；（3）S＝﹣h2+h﹣，当h＝时，S的最大值为，此时点P（，﹣ ）．

【解析】

（1）对抛物线解析式进行变形，使a的系数为0，解出x的值，即可确定点C的坐标；

（2）设函数对称轴与x轴交点为M，根据抛物线的对称轴可求出M的坐标，然后利用勾股定理求出CM的长度，再利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半求出AB的长度，则A,B两点的坐标可求，再将A,B两点代入解析式中即可求出a的值；

（3）过点E作EF⊥PH于点F，先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后将P,D的坐标用含h的代数式表示出来，最后利用S＝S△ABE﹣S△ABD＝×AB×（yD﹣yE）求解

（1）y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）＝a（2x2﹣x﹣3）﹣3，

令2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝或﹣1，

故第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）；

（2）函数的对称轴为：x＝，

设函数对称轴与x轴交点为M，则其坐标为：（，0），

则由勾股定理得CM＝，

则AB＝2CM＝ ，

∴

则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（，0）；

将点A的坐标代入函数表达式得：18a+3a﹣3a﹣3＝0，

解得：a＝ ，

函数的表达式为：y＝（x+3）（x﹣）＝x2﹣x﹣ ；

（3）过点E作EF⊥PH于点F，

设：∠ABC＝α，则∠ABC＝∠HPE＝∠DEF＝α，

设直线BC的解析式为

将点B、C坐标代入一次函数表达式

得 解得：

∴直线BC的表达式为：，

设点P（h，），则点D（h，），

故tan∠ABC＝tanα＝ ，则sinα＝ ，

yD﹣yE＝DEsinα＝PDsinαsinα，

S＝S△ABE﹣S△ABD

＝×AB×（yD﹣yE）

＝

∵﹣＜0，

∴S有最大值，当h＝ 时，S的最大值为：，此时点P（）．