Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或重合，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形，点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图①中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3，都是点A，B，C的外延矩形，矩形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延矩形．

（1）如图②，已知A（﹣1，0），B（3，2），点C在直线y＝x﹣1上，设点C的横坐标为t．

①若t＝，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为多少？

②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为9，求t的值．

（2）如图③，已知点M（4，0），N（0，），P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标x的取值范围；

（3）已知D（1，0）．若Q是抛物线y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1的图象在﹣2≤x≤1之间的最高点，点E的坐标为（0，4m），设点D，E，Q的最佳外延矩形的面积为S，当4≤S≤6时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①8；②t的值为或；（2）最小值为14，此时P点横坐标x的取值范围为：0≤x≤1﹣或1+≤x≤3；（3）m的取值范围为：≤m≤或﹣≤m≤﹣1

【解析】

（1）①以AB为对角线的矩形面积即为所求．
②分两种情况讨论：C在x轴下方；C在B点右上方．分别列方程求解即可．
（2）分别令y等于M、N的纵坐标，解出方程并结合图形即可得出答案．
（3）先求出抛物线的顶点坐标，然后讨论抛物线对称轴与所给的x的范围的关系，对于每一种情况，分别表示出S，再根据S的范围解不等式组即可求出m的取值范围．

（1）①如图②，作矩形ANBM，

∵t＝，∴C（，），

∵A（﹣1，0），B（3，2），∴C在矩形ANBM内部，

此时，矩形ANBM是点A，B，C的最佳外延矩形．

S矩形ANBM＝AMBM＝（3+1）（2﹣0）＝8．

故答案为8．

②若C在x轴下方，则：4[2﹣（t﹣1）]＝9，解得t＝．

若C在B点右上方，则：（t+1）（t﹣1）＝9，解得t1＝﹣（舍），t2＝．

综上所述，t的值为或．

（2）令y＝﹣x2+2x+3＝，解得x1＝1+，x2＝1﹣，

令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，

点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值为4×＝14，

此时P点横坐标x的取值范围为：0≤x≤1﹣或1+≤x≤3．

（3）∵y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1＝﹣（x+m）2+2m+1，

∴抛物线的顶点坐标为（﹣m，2m+1）．

①当1≤﹣m即m≤﹣1时，Q点坐标为（1，﹣m2）

若﹣m2＜4m，则m＞0（舍）或m＜﹣4，此时S＝m2，

∵4≤S≤6，∴﹣≤m≤﹣2（舍）．

若﹣m2≥4m，则﹣4≤m≤0，此时S＝﹣4m，

∴4≤﹣4m≤6，解得：﹣≤m≤﹣1，

②当﹣2＜﹣m＜1即﹣1＜m＜2时，Q点的坐标就是抛物线顶点，S＝4m（m+1），

∴4≤4m（m+1）≤6，解得≤m≤，

③当﹣m≤﹣2即m≥2时，4m≥8，不合题意，舍去．

综上所述，m的取值范围为：≤m≤或﹣≤m≤﹣1．