Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．

（1）求证：MH为⊙O的切线．

（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．

（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）．

【解析】

（1）连接OH、OM，易证OH是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，从而可知MH是⊙O的切线；

（2）由切线长定理可知：MH=HC，再由点M是AC的中点可知AC=3，由tan∠ABC=，所以BC=4，从而可知⊙O的半径为2；

（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ．

解：（1）连接OH、OM，∵H是AC的中点，O是BC的中点

∴OH是△ABC的中位线

∴OH∥AB，∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB

又∵OB=OM，∴∠OMB=∠MBO

∴∠COH=∠MOH，

在△COH与△MOH中，

∵OC=OM，∠COH=∠MOH，OH=OH

∴△COH≌△MOH（SAS）

∴∠HCO=∠HMO=90°

∴MH是⊙O的切线；

（2）∵MH、AC是⊙O的切线

∴HC=MH=

∴AC=2HC=3

∵tan∠ABC=，∴=

∴BC=4

∴⊙O的半径为2；

（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I

∵AC与AN都是⊙O的切线

∴AC=AN，AO平分∠CAD

∴AO⊥CN

∵AC=3，OC=2

∴由勾股定理可求得：AO=

∵ACOC=AOCI，∴CI=

∴由垂径定理可求得：CN=

设OE=x，由勾股定理可得：

∴，

∴x=，∴CE=，

由勾股定理可求得：EN=，

∴由垂径定理可知：NQ=2EN=．