Question

如图，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A（2-

3

，0 ），B（2+

3

，0）两点，D是劣弧AB上一点，且

AD

=

1

2

BD

．
（1）求⊙M的半径；
（2）P是⊙M上一个动点，若以P、A、D、B为顶点的四边形是梯形，求∠PAD的度数；
（3）如图2，点Q是⊙M上一个动点，点N为OQ的中点，连接CN，当点Q在⊙M上运动时，CN的最大值为多少？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）如图1，作ME⊥x轴于E，连接MC，根据垂径定理，由ME⊥AB得AE=BE=

3

，则OE=OA+AE=2，再根据切线的性质得到MC⊥y轴，所以四边形MEOC为矩形，于是得到MC=OE=2；
（2）连接MA、MB，MD，如图1，在Rt△MAE中利用勾股定理计算出ME=1，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠MAE=30°，则∠AMB=120°，由于

AD

=

1

2

BD

，根据圆周角定理
得∠AMD=

1

3

∠AMB=40°，然后分类讨论：当PD∥BA时，如图1①，根据平行线的性质与圆周角定理可得∠PAD=20°；当PA∥BD时，如图1②，∠PAD=60°；当PB∥AD时，如图1③，∠PAD=120°；
（3）连结OM，MQ，K点为OM的中点，连结NK，CK，如图2，先根据勾股定理计算出OM=

5

，根据直角三角形斜边上的中线性质得CK=

5

2

，易得NK为△OQM的中位线，则NK=

1

2

QM=1，
根据三角形三边的关系得到，当∠CKN=180°时，CN最大，此时CN=CK+NK=

5

2

+1．

解答：解：（1）如图1，作ME⊥x轴于E，连接MC，
∵A（2-

3

，0）、点B（2+

3

，0），
∴AB=2

3

，
∵ME⊥AB，
∴AE=BE=

3

，
∴OE=OA+AE=2-

3

+

3

=2，
∵⊙M与y轴相切于点C，
∴MC⊥y轴，
∴四边形MEOC为矩形，
∴MC=OE=2，
即⊙M的半径为2；
（2）连接MA、MB，MD，如图1，
在Rt△MAE中，∵AE=

3

，MA=2，
∴ME=

MA2-AE2

=1，
∴∠MAE=30°，
∴∠AMB=120°，
∵

AD

=

1

2

BD

，
∴∠AMD=

1

3

∠AMB=40°，
当PD∥BA时，如图1①，
则∠BAP=∠APD，
∴

AD

=

BP

，
而

AD

=

1

2

BD

，
∴

AD

=

DP

，
∴∠PAD=

1

2

∠AMD=20°；
当PA∥BD时，如图1②，
∵∠APB=

1

2

∠AMB=60°，
∴∠ADB=180°-∠APB=120°，
∵PA∥BD，
∴∠PAD=180°-∠ADB=60°；
当PB∥AD时，如图1③，
∵PB∥AD，
∴∠PAD+∠APB=180°，
∵∠APB=

1

2

∠AMB=60°，
∴∠PAD=120°；
（3）连结OM，MQ，K点为OM的中点，连结NK，CK，如图2，
∵OC=1，MC=2，
∴OM=

12+22

=

5

，
∴CK=

5

2

，
∵N点为OQ的中点，
∴NK为△OQM的中位线，
∴NK=

1

2

QM=1，
∵点Q是⊙M上一个动点，
∴当∠CKN=180°时，CN最大，此时CN=CK+NK=

5

2

+1，
即CN的最大值为

5

2

+1．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的性质；会利用勾股定理计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．