Question

4．已知反比例函数y=$\frac{k}{2x}$和一次函数y=kx-1交于A、B两点，其中A点坐标为（1，b）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）已知点B的横坐标为-$\frac{1}{2}$，求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；如不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意得出$\frac{k}{2}$=b，k-1=b，进而求得b=1，k=2，从而求得一次函数的解析式；
（2）根据△AOB的面积=S_△AOC+S_△BOC求解；
（3）分两种情况考虑：①当OA是底边时，则OA的垂直平分线和x轴的交点；②当OA是腰时，则分别以O、A为圆心，以OA为半径画弧，和x轴的交点（点O除外）．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{2x}$和一次函数y=kx-1过A（1，b），
∴$\frac{k}{2}$=b，k-1=b，
∴b=1，k=2，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{1}{x}$，一次函数的解析式为y=2x-1；
（2）∵点B的横坐标为-$\frac{1}{2}$，
∴点B的纵坐标为-2，
由一次函数的解析式y=2x-1，得直线AB与x轴的交点是C（$\frac{1}{2}$，0），
△AOB的面积=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×2=$\frac{3}{4}$．
（3）∵A（1，1），
∴OA=$\sqrt{2}$，
①若OA=OP，
则OP=$\sqrt{2}$，
∴点P的坐标为：（$\sqrt{2}$，0）或（-$\sqrt{2}$，0）；
②若AO=AP，
过A作AD⊥x轴于D，
∴OD=1，
∴OP=2OD=2，
∴点P的坐标为（2，0）；
③若OP=AP，
则P是OA的垂直平分线与x轴的交点，
则点P为（1，0）．
∴点P的坐标是（1，0）或（$\sqrt{2}$，0）或（-$\sqrt{2}$，0）或（2，0）．

点评 此题综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、三角形的面积的计算方法以及等腰三角形的判定和性质．