Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0）．点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AO运动；同时，点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动．

（1）求运动时间t的取值范围；
（2）整个运动过程中，以点P、O、Q为顶点的三角形与Rt△AOB有几次相似？请直接写出相应的t值．
（3）t为何值时，△POQ的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点B的坐标为（8，0），

∴OB=8，

∵点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动，

∴t≤4，

则运动时间t的取值范围为：0≤t≤4

（2）

解：由题意得，AP=t，OP=6﹣t，OQ=2t，

①当Rt△POQ∽Rt△AOB时， = ，

即 = ，

解得，t= ，

②当Rt△POQ∽Rt△BOA时， = ，

即 = ，

解得，t= ，

则当t= 或 时，以点P、O、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似，即相似两次

（3）

解：△POQ的面积= ×OP×OQ= ×2t×（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9，

∴当t=3时，△POQ的面积最大，最大值是9

【解析】（1）根据题意求出OB的长，得到运动时间t的取值范围；（2）分Rt△POQ∽Rt△AOB和Rt△POQ∽Rt△BOA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（3）用t表示出△POQ的面积，根据二次函数的性质解答即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的图象的相关知识点，需要掌握函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成；图像上每一点坐标（x，y）代表了函数的一对对应值，他的横坐标x表示自变量的某个值，纵坐标y表示与它对应的函数值才能正确解答此题．