Question

【题目】定义：两条抛物线顶点都在直线y=x上，且两条抛物线关于原点成中心对称，则称这两条抛物线为一对“友好抛物线”．

（1）抛物线y=2（x-1）2+1如图1所示，请画出它的“友好抛物线”，并直接写出它的解析式；
（确认无误后，请用黑色水笔描黑）
（2）一对“友好抛物线”，其中一条抛物线的解析式为y= -（x+h）2-h，这对“友好抛物线”与y轴交点记为A，B，记AB=n（当A与B重合时，记n=0），现我们来探究n与h的关系；
①当h≥0时，如图2所示，求n与h的函数关系式；
②当h＜0时，求n与h的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，要使 ≤n≤ ，试直接写出h的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：画图如下图，函数解析式为：y=-2(x+1)2-1．

（2）

解：抛物线y= -（x+h）2-h的“友好抛物线”解析式为：y=（x-h）2+h

①当h≥0时，A（0， h2+h）， B（0，-h2-h）

∴n=AB=(h2+h）-(-h2-h）=2h2+2h

②当h＜0时，

当h2+h＜-h2-h，即-1＜h＜0

n= AB=(-h2-h）-(h2+h）=-2h2-2h

当h2+h≥-h2-h，即h≤-1

n= AB=(h2+h）-(-h2-h）=2h2+2h

综上可得：

（3）

解：由（2）可知：

函数图象如下：

可求得各点坐标如下：

C ；H

D ；E ；F ； G ,

所以要使 ≤n≤ ， h的取值范围为：

或 或 ．

【解析】（1）根据“友好抛物线”的定义和成中心对称的特征，写出抛物线的解析式并画图；
（2）利用第（1）问的结论，根据两点间距离公式表示出AB的长，进而求出n与h的函数关系式；
（3）利用第（2）问的结论，数形结合，通过解方程求出各个点的坐标即可.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．