Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．

（1）求证：EF⊥AB；
（2）若∠C=30°，EF= ，求EB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，AD，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°．

又∵AB=AC，

∴CD=DB．又CO=AO，

∴OD∥AB．

∵FD是⊙O的切线，

∴OD⊥DF．∴FE⊥AB

（2）解：∵∠C=30°，

∴∠AOD=60°，

在Rt△ODF中，∠ODF=90°，

∴∠F=30°，

∴OA=OD= OF，

在Rt△AEF中，∠AEF=90°，∠F=30°

∵EF= ，

∴AE=EFtan30°= ．

∵OD∥AB，OA=OC=AF，

∴OD=2AE=2 ，AB=2OD=4 ，

∴EB=3

【解析】（1）连接OD，AD，只要证明OD是△ABC中位线即可解决问题．（2）首先证明AE是△ODF中位线，在Rt△AEF中求出AE，再求出OD，根据AB=2OD，求出AB即可问题．
【考点精析】通过灵活运用等腰三角形的性质和切线的性质定理，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径即可以解答此题．