Question

【题目】已知二次函数y=kx2+ x+ （k是常数）．
（1）若该函数的图象与x轴有两个不同的交点，试求k的取值范围；
（2）若点（1，k）在某反比例函数图象上，要使该反比例函数和二次函数y=kx2+ x+ 都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件及x的取值范围；
（3）若抛物线y=kx2+ x+ 与x轴交于A（xA ， 0）、B（xB ， 0）两点，且xA＜xB ， xA2+xB2=34，若与y轴不平行的直线y=ax+b经过点P（1，3），且与抛物线交于Q1（x1 ， y1）、Q2（x2 ， y2）两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函数y=kx2+ x+ 与x轴有两个不同的交点，

∴ ，

解得k＜ 且k≠0．

（2）

解：设反比例函数解析式为y= ，

∵经过点（1，k），

∴m=k，

∵反比例函数和二次函数y=kx2+ x+ 都是y随x的增大而增大，

∴k＜0，

x＜﹣ ，即x＜﹣

（3）

解：结论： =1．

理由：令y=0，则有kx2+ x+ =0，

∴xA+xB=﹣ ，xAxB= ，

∵xA2+xB2=34，

∴（xA+xB）2﹣2xAxB=34，

∴（ ）2﹣ ﹣34=0，

解得k=﹣ 或

由（1）可知k＜ ，

∴k=﹣ ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+ ，

设过点P的直线为y=kx+b，把P（1，3）代入得3=k+b，

∴b=3﹣k，

∴过点P的直线为y=kx+3﹣k，

∵过点P的直线为y=kx+3﹣k与物线交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）两点，

∴y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，

由 消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k=0，

∴x1+x2=﹣（4k﹣2），x1x2=﹣3﹣4k，

∴ =

=

=

=

=1．

【解析】（1）根据题意k≠0，△＞0，列出不等式组即可解决问题．（2）设反比例函数解析式为y= ，因为经过点（1，k），所以m=k，再根据条件即可确定k的值以及x的范围．（3）结论： =1．令y=0，则有kx2+ x+ =0，所以xA+xB=﹣ ，xAxB= ，根据xA2+xB2=34，列出方程求出k的值，设过点P的直线为y=kx+3﹣k，
由由 消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k=0，得x1+x2=﹣（4k﹣2），x1x2=﹣3﹣4k，根据 = ，代入化简即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．