Question

3．如图（1），等边三角形ABC的边长为8，点P由点B开始沿BC以每秒1个单位长的速度作匀速运动，到点C后停止运动；点Q由点C开始沿C-A-B以每秒2个单位长的速度作匀速运动，到点B后停止运动．若点P，Q同时开始运动，运动的时间为t（秒）（t＞0）．求当点P、Q运动时，△PCQ的面积S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 分两种情况讨论：①当0＜t≤4时，作QD⊥BC于D，则BP=t，PC=8-t，CQ=2t，在Rt△CDQ中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DC的长，利用三角形面积公式即可得出结论；
②当4≤t≤8，作QD⊥BC于D，则BP=t，PC=8-t，AQ+AC=2t，BQ=16-2t，在Rt△BDQ中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BD=BQ，QD=BD，然后根据三角形面积公式得到S的表达式．

解答 解：①当点Q在CA上运动时，即0＜t≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，
BP=t，PC=8-t，CQ=2t，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，
在Rt△CDQ中，DC=$\frac{1}{2}$CQ=t，
∴QD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$QD•PC=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$t•（8-t）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+4$\sqrt{3}$t，
即△PCQ的面积S与t的函数关系式为S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+4$\sqrt{3}$t（0＜t≤4）；
②当点Q在AB上运动时，即4≤t≤8，作QD⊥BC于D，如图2，
BP=t，PC=8-t，AQ+AC=2t，则BQ=16-2t，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BDQ中，BD=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{1}{2}$（16-2t）=8-t，
∴QD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$（8-t），
∴S=$\frac{1}{2}$QD•PC=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$（8-t）•（8-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-8$\sqrt{3}$t+32$\sqrt{3}$，
即△PCQ的面积S与t的函数关系式为S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-8$\sqrt{3}$t+32$\sqrt{3}$（4≤t≤8）．

点评 本题考查的是动点问题的函数图象，在解答此题时要注意分两种情况进行讨论，同时要作出辅助线，构造出直角三角形求解．