Question

【题目】已知，如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作DEFG．

（1）求DEFG对角线DF的长；

（2）求DEFG周长的最小值；

（3）当DEFG为矩形时，连接BG，交EF，CD于点P，Q，求BP：QG的值．

Answer 1

【答案】（1）DF的长；（2）DEFG周长的最小值：；（3）BP：QG的值为或．

【解析】

（1）DEFG对角线DF的长就是Rt△DCF的斜边的长，由勾股定理求解；
（2）DEFG周长的最小值就是求邻边2（DE+EF）最小值，DE+EF的最小值就是以AB为对称轴，作点F的对称点M，连接DM交AB于点N，点E与N点重合时即DE+EF=DM时有最小值，在Rt△DMC中由勾股定理求DM的长；
（3）DEFG为矩形时有两种情况，一是一般矩形，二是正方形，分类用全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形相似的判定与性质和勾股定理求解．

（1）如图1所示：

连接DF，

∵四边形ABCD是矩形，

∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，

∵BF＝FC，AD＝2；∴FC＝1，

∵AB＝3；∴DC＝3，

在Rt△DCF中，由勾股定理得，

∴DF＝；

故DEFG对角线DF的长．

（2）如图2所示：

作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，

连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，

①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，

∴ME+DE＞MD，

②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，

∴ME+DE＝MD

由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，

∵MB＝BF，∴MB＝1，

∴MC＝3，

又∵DC＝3，

∴△MCD是等腰直角三角形，

∴MD＝，

∴NF+DF＝MD＝2，

∴lDEFG＝2（NF+DF）＝4；

（3）①当AE＝1，BE＝2时，过点B作BH⊥EF，

如图3（甲）所示：

∵DEFG为矩形，

∴∠A＝∠ABF＝90°，

又∵BF＝1，AD＝2，

∴在△ADE和△BEF中有，

，

∴△ADE≌△BEF中（SAS），

∴DE＝EF，

∴矩形DEFG是正方形；

在Rt△EBF中，由勾股定理得：

EF＝，

∴BH，

又∵△BEF～△FHB，

∴，

HF＝，

在△BPH和△GPF中有：

，

∴△BPH∽△GPF（AA），

∴

∴PF＝，

又∵EP+PF＝EF，

∴，

又∵AB∥BC，EF∥DG，

∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，

∴△EBP∽△DQG（AA），

∴．

②当AE＝2，BE＝1时，过点G作GH⊥DC，

如图3（乙）所示：

∵DEFG为矩形，

∴∠A＝∠EBF＝90°，

∵AD＝AE＝2，BE＝BF＝1，

∴在Rt△ADE和Rt△EFB中，由勾股定理得：

∴ED＝，

EF＝，

∴∠ADE＝45°，

又∵四边形DEFG是矩形，

∴EF＝DG，∠EDG＝90°，

∴DG＝，∠HDG＝45°，

∴△DHG是等腰直角三角形，

∴DH＝HG＝1，

在△HGQ和△BCQ中有，

∴△HGQ∽△BCQ（AA），

∴，

∵HC＝HQ+CQ＝2，

∴HQ＝，

又∵DQ＝DH+HQ，

∴DQ＝1+＝，

∵AB∥DC，EF∥DG，

∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，

∴△EBP∽△DQG（AA），

∴，

综合所述，BP：QG的值为或．